Question

如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的任意一點(diǎn)，BE交AD與點(diǎn)O，某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下事實(shí)，
①當(dāng)

AE

AC

=

1

2

=

1

1+1

時(shí)，有

AO

AD

=

2

3

=

2

2+1

(如圖1)；
②當(dāng)

AE

AC

=

1

3

=

1

1+2

時(shí)，有

AO

AD

=

2

4

=

2

2+2

(如圖2)；
③

AE

AC

=

1

4

=

1

1+3

時(shí)，有

AO

AD

=

2

5

=

2

2+3

(如圖3)；
如圖4中，當(dāng)

AE

AC

=

1

1+n

時(shí)，請(qǐng)你猜想

AO

AD

的一般結(jié)論，并證明你的結(jié)論（其中n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析：過(guò)D作DF∥BE，即求AO：AD=AE：AF，因?yàn)?span id="i6skguq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AE

AC

=

1

1+n

，可以根據(jù)平行線分線段成比例，及線段相互間的關(guān)系即可得出AE：AF=2：（n+2），即

AO

AD

=

2

n+2

．

解答：解：猜想

AO

AD

=

2

n+2

．
證明：過(guò)D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF．
∵D為BC邊的中點(diǎn)，
∴CF=EF=

1

2

EC．
∵

AE

AC

=

1

1+n

，
∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．
∴AE：EF=2：n．
∴AE：AF=2：（n+2），即

AO

AD

=

2

n+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行線分線段定理及其應(yīng)用，有一定難度，注意D為BC邊的中點(diǎn)的運(yùn)用．