Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在劣弧AB上，連接DP，交AC于點(diǎn)Q．若QP=QO，則

QC

QA

的值為（　　）

• A、2

  3

  -1
• B、2

  3

• C、

  3

  +

  2

• D、

  3

  +2

Answer 1

分析：設(shè)⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r+m，QA=r-m．利用相交弦定理，求出m與r的關(guān)系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．

解答：解：如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r+m，
QA=r-m．
在⊙O中，根據(jù)相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r-m）（r+m）=m•QD，所以QD=

r2-m2

m

．
連接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即(

r2-m2

m

)2=r2+m2，
解得m=

3

3

r
所以，

QC

QA

=

r+m

r-m

=

3 +1

3 -1

=

3

+2
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相交弦定理，即“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等”．熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．