Question

在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖1）．
（1）求邊AB在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；
（2）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)MN=m，當(dāng)m為何值時(shí)△OMN的面積最小，最小值是多少？并直接寫出此時(shí)△BMN內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）S_陰=S_△OAB+S_扇形OBB′-S_△OAA′-S_扇形OAA′，根據(jù)公式即可求解．
（2）延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，可以證明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN證得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．從而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．
（3）Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²，所以（1-n）²+（1-m+n）²=m²?m²-mn+2-m=0．把這個(gè)方程看作關(guān)于n的方程，根據(jù)一元二次方程有解得條件，即可求得．

解答：解：（1）如圖，S_陰=S_△OAB+S_扇形OBB'-S_△OA'B′-S_扇形OAA'
=S_扇形OBB′-S_扇形OAA′=

45

360

π(

2

)2-

45

360

π×1²=

π

8

（6分）


（2）p值無變化（7分）
證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，
在△OAE與△OCN中，

∠AOE=∠CON=90°-∠AON ∠OAE=∠OCN=90° OA=OC

∴△OAE≌△OCN（AAS）
∴OE=ON，AE=CN（8分）
在△OME與△OMN中，

OE=ON ∠MOE=∠MON=45° OM=OM

∴△OME≌△OMN（SAS）
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN（9分）
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；

（3）設(shè)AM=n，則BM=1-n，CN=m-n，BN=1-m+n，
∵△OME≌△OMN，
∴S_△MON=S_△MOE=

1

2

OA×EM=

1

2

m（11分）
在Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²
∴（1-n）²+（1-m+n）²=m²?n²-mn+1-m=0
∴△=m²-4（1-m）≥0?m≥2

2

-2或m≤-2

2

-2，
∴當(dāng)m=2

2

-2時(shí)，△OMN的面積最小，為

2

-1．
此時(shí)n=

2

-1，
則BM=1-n=2-

2

，BN=1-m+n=2-

2

，
∴Rt△BMN的內(nèi)切圓半徑為

BM+BN-MN

2

=3-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了扇形的面積公式，全等三角形的判定，三角形的面積公式以及勾股定理的綜合應(yīng)用，難度較大．