Question

已知x≠1，計(jì)算（1-x）（1-x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴．
（1）觀察以上各式并猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

（n為正整數(shù)）；
（2）根據(jù)你的猜想計(jì)算：（1-2）（1+2+2²+2³+…+2⁹⁹）=

1-2¹⁰⁰

；
（3）利用猜想，計(jì)算：2+2²+2³+…+2ⁿ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)上述一系列等式得到：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）結(jié)果為1減去2的n+1次冪；
（2）令x=2代入計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）先計(jì)算（1-2）（1+2+2²+…+2ⁿ）的值，變形后即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）歸納總結(jié)得：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；

（2）（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=1-x¹⁰⁰，
令x=2，得到（1-2）（1+2+2²+2³+…+2⁹⁹）=1-2¹⁰⁰；

（3）∵（1-2）（1+2+2²+…+2ⁿ）=1-2ⁿ⁺¹，
∴2+2²+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：（1）1-xⁿ⁺¹；（2）1-2¹⁰⁰；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，找出其中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．