Question

如圖：AB是⊙O的直徑，AC是⊙O上一條弦，AC在AB下方，在⊙O上存在一點(diǎn)D．
（1）（如圖a），當(dāng)D點(diǎn)在O點(diǎn)在正上方，連接AD、CD、BC、BD，CD交AB于E，則，在圖中你可以發(fā)現(xiàn)多少對(duì)相似三角形？請(qǐng)列舉出來，并說明理由．
（2）①（如圖b），當(dāng)D點(diǎn)在劣弧

BC

上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合）則AD

 

AC（在橫線上填寫“＞”、“＜”或“=”）并說明理由；
②（如圖c），當(dāng)D點(diǎn)在劣弧

AC

上運(yùn)動(dòng)（不與A、C重合）則AD

 

AC（在橫線上填寫“＞”、“＜”或“=”）并說明理由；
（3）如圖d，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∠DCA=∠CBA=60°，連接BD，過C點(diǎn)作CE∥DB，求證：四邊形CDBE為平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）圖中，點(diǎn)A、B、C、D分圓所得的四段弧，所對(duì)的四組圓周角相等，根據(jù)這四組等角即可證得△ADE∽△CBE、△DEB∽△AEC．
（2）當(dāng)D在劣弧BC上時(shí)，連接BD，顯然∠BDC＞90°，故BD＞BC；在Rt△ABC和Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²，AC²=AB²-BC²，上面已經(jīng)證得BD＞BC，故AD＜AC；
當(dāng)D在劣弧AC上時(shí)，解題思路同上．
（3）已知CE∥BD，只要證得CD∥BE即可．由于∠DCA=∠CBA=60°，故弧AD=弧CD，根據(jù)垂徑定理知AB⊥CD，而AB⊥BE，由此可得CD∥BE，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證得所求的結(jié)論．

解答：解：（1）相似三角形△ADE和△CBE，△DEB和△AEC（2分）
∵

AC

=

AC

，∴∠ADE=∠CBE，
又∵∠DEA=∠BEC，∴△ADE∽△CBE（3分）
另兩個(gè)三角形同理可證．（4分）

（2）①AD＞AC．（5分）
證明：連接BD；
∵在圓O中AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴AD²=AB²-BD²，AC²=AB²-BC²（6分）
又∵在△BDC中，∠BDC是優(yōu)弧所對(duì)的角，
∴∠BDC＞90°，∴BC＞BD，
∴AD＞AC；（7分）
②AD＜AC；（8分）
證明同上．（10分）

（3）證明略，請(qǐng)老師們酌情扣分．（12分）
證明：∵∠DCA=∠CBA=60°，
∴

AC

=

AD

，
∴AB⊥CD；
又∵AB⊥BE，則CD∥BE；
已知CE∥BD，故四邊形CDBE是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：相似三角形的判定、圓周角定理、垂徑定理、平行四邊形的判定、勾股定理等，雖然涉及的知識(shí)較多，但難度不大．