Question

如圖1，以△ABC邊AB和AC為邊作等邊△ABD和△ACE，連接DC，BE，
（1）判斷BE與DC的數(shù)量關(guān)系，并求BE與DC的夾角∠EFC的度數(shù)；
（2）繼續(xù)探索，如圖2，以△ABC的AB和AC為邊作正方形ABEF和ACGH，連接FC、BH，判斷FC和BH的數(shù)量關(guān)系，并求出此時(shí)FC與BH的夾角；

（3）如圖3中M、N分別是BC、FH的中點(diǎn)，P、Q分別是正方形的中心，順次連接MPNQ，判斷四邊形MPNQ的形狀并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，再求出∠BAE=∠DAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DC，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEB=∠ACD，然后∠FEC+∠FCE=120°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，再求出∠BAH=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABH和△AFC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=FC，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AFC=∠ABH，然后∠EFC+∠EBH=180°，設(shè)BH、CF相交于點(diǎn)G，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可求出∠BGF=90°，根據(jù)垂線(xiàn)的定義即可得證；
（3）根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)互相平分可得點(diǎn)P、Q分別是BF、CH的中點(diǎn)，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PN∥BH，PN=

1

2

BH，MQ∥BH，MQ=

1

2

BH，NQ∥CF，NQ=

1

2

CF，PM∥CF，PM=

1

2

CF，再根據(jù)（2）的結(jié)論可得BH=CF，BH⊥CF，然后求出MP=PN=NQ=MQ，從而判定四邊形MPNQ是菱形，再根據(jù)BH⊥CF求出PN⊥NQ，根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形證明．

解答：解：（1）∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD，
∴∠FEC+∠FCE=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°，
∴∠EFC=180°-（∠FEC+∠FCE）=180°-120°=60°；
故BE=DC，∠EFC的度數(shù)為60°；

（2）在正方形ABEF和ACGH中，AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAH+∠BAC，
即∠BAH=∠CAF，
在△ABH和△AFC中，

AB=AF ∠BAH=∠CAF AC=AH

，
∴△ABH≌△AFC（SAS），
∴BH=FC，∠AFC=∠ABH，
∴∠EFC+∠EBH=∠EFA+∠EBA=90°+90°=180°，
設(shè)BH、CF相交于點(diǎn)G，
則∠EGF=360°-180°-90°=90°，
∴BH⊥FC，
故BE=DC且BH與FC的夾角為90°；

（3）四邊形MPNQ為正方形．理由如下：
∵P、Q分別是正方形的中心，
∴P、Q分別是BF、CH的中點(diǎn)，
∵M(jìn)、N分別是BC、FH的中點(diǎn)，
∴PN∥BH，PN=

1

2

BH，MQ∥BH，MQ=

1

2

BH，NQ∥CF，NQ=

1

2

CF，PM∥CF，PM=

1

2

CF，
根據(jù)（2）的結(jié)論，BH=CF，BH⊥CF，
∴MP=PN=NQ=MQ，
∴四邊形MPNQ是菱形，
∵BH⊥CF，PN∥BH，NQ∥CF，
∴PN⊥NQ，
∴菱形MPNQ是正方形，
故四邊形MPNQ為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，此類(lèi)題目最大的特點(diǎn)是各小題所用的思路都相同．