(2005•寧夏)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,點E在直角邊AC上(點E與A、C兩點均不重合),點F在斜邊AB上(點F與A、B兩點均不重合).
(1)若EF平分Rt△ABC的周長,設AE長為x,試用含x的代數(shù)式表示△AEF的面積;
(2)是否存在線段EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分?若存在,求出此時AE的長;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)過F作FD⊥AC于點D,則Rt△ADF∽Rt△ACB.根據(jù)對應邊的比相等,可以用含x的代數(shù)式表示出DF,根據(jù)三角形的面積公式就可以得到函數(shù)解析式.
(2)三角形ACB的面積可以求出,線段EF將Rt△ABC的面積平分,就可以得到一個關于x的方程,解方程,就可以求出X的值.
解答:解:(1)∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∵EF平分Rt△ABC的周長,AE長為x,
∴AF=-x=6-x,
過F作FD⊥AC于點D,則有Rt△ADF∽Rt△ACB,根據(jù)對應邊的比相等,可以得到:
FD=(6-x)
則S△AEF=-x2+x(1<x<3)

(2)當S△AEF=3時
解之得x1=,x2=
∵1<x<3
∴x2=(舍去)
當x=時,6-x=<5
∴這樣的EF存在.
點評:本題是函數(shù)與相似形的性質相結合的題目.主要利用了相似三角形的性質,對應邊的比相等.
練習冊系列答案
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