Question

如圖①，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點(diǎn)（P與點(diǎn)A，O不重合），AP的延長線交半圓O于點(diǎn)D，其中OA=4．

（1）判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說明理由；

（2）連接OD，當(dāng)OD與半圓C相切時，求的長；

（3）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設(shè)AP=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）AP=PD。理由如下：

如圖①，連接OP，OD，

∵OA是半圓C的直徑，∴∠APO=90°，即OP⊥AD。

又∵OA=OD，∴AP=PD。

（2）如圖①，連接PC、OD.

∵OD是半圓C的切線，∴∠AOD=90°。

由（1）知，AP=PD.

又∵AC=OC，∴PC∥OD�！唷螦CP=∠AOD=90°。

∵OA=4，∴AC=2。

∴的長=。

（3）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E落在OA上（即0＜x≤時），如圖②，

連接OP，則∠APO=∠AED．

又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED�！�。

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4﹣y，∴。

∴（0＜x≤）.

②當(dāng)點(diǎn)E落在線段OB上（即＜x＜4）時，如圖③，

連接OP，同①可得，△APO∽△AED。

∴。

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴ 。

∴（＜x＜4）。

綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

【解析】

試題分析：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．利用圓周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得AP=PD。

（2）由三角形中位線的定義證得CP是△AOD的中位線，則PC∥DO，所以根據(jù)平行線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)易求弧AP所對的圓心角∠ACP=90°，從而求出的長。

（3）分類討論：點(diǎn)E落在線段OA和線段OB上，這兩種情況下的y與x的關(guān)系式．這兩種情況都是根據(jù)相似三角形（△APO∽△AED）的對應(yīng)邊成比例來求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。