Question

【題目】在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進(jìn)一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．

（一）嘗試探究

如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，點E、F分別在線段BC、CD上，∠EAF=30°，連接EF．

（1）如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′（A′B′與AD重合），請直接寫出∠E′AF= 度，線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為 ．

（2）如圖3，當(dāng)?shù)�點E、F分別在線段BC、CD的延長線上時，其他條件不變，請?zhí)骄烤�段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（二）拓展延伸

如圖4，在等邊△ABC中，E、F是邊BC上的兩點，∠EAF=30°，BE=1，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′E′（A′B′與AC重合），連接EE′，AF與EE′交于點N，過點A作AM⊥BC于點M，連接MN，求線段MN的長度．

Answer 1

【答案】（一）（1）30，BE+DF=EF；（2）BE﹣DF=EF；（二）．

【解析】

試題分析：（一）（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，判定△AEF≌△AE′F，進(jìn)而根據(jù)線段的和差關(guān)系得出結(jié)論；

（2）先在BE上截取BG=DF，連接AG，構(gòu)造△ABG≌△ADF，進(jìn)而利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，判定△GAE≌△FAE，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系得出結(jié)論；

（二）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判定△AEE′是等邊三角形，進(jìn)而利用等邊△ABC、等邊△AEE′的三線合一的性質(zhì)，得到和∠BAE=∠MAN，最后判定△BAE∽△MAN，并根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出比例式求得MN的長．

試題解析：（一）（1）如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′，則

∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，∴∠1+∠3=30°，∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°，∴∠EAF=∠FAE′，在△AEF和△AE′F中，∵AE=AE′，∠EAF=∠FAE′，AF=AF，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，∴EF=DF+BE，即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE+DF=EF，故答案為：30，BE+DF=EF；

（2）如圖3，在BE上截取BG=DF，連接AG，在△ABG和△ADF中，∵AB=AD，∠ABE=∠ADF，BG=DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，∵∠DAF+∠DAE=30°，∴∠BAG+∠DAE=30°，∵∠BAD=60°，∴∠GAE=60°﹣30°=30°，∴∠GAE=∠FAE，在△GAE和△FAE中，∵AG=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE=FE，又∵BE﹣BG=GE，BG=DF，∴BE﹣DF=EF，即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE﹣DF=EF；

（二）如圖4，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′E′，則

AE=AE′，∠EAE′=60°，∴△AEE′是等邊三角形，又∵∠EAF=30°，∴AN平分∠EAF，∴AN⊥EE′，∴直角三角形ANE中，=，∵在等邊△ABC中，AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴=，且∠BAE+∠EAM=30°，∴，又∵∠MAN+∠EAM=30°，∴∠BAE=∠MAN，∴△BAE∽△MAN，∴，即=，∴MN=．