Question

解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；
（4）．

Answer 1

解：（1）原方程可變形為+1+=，
+=．
令y=，則原方程可變?yōu)閥+=，
解得y₁=，y₂=．
當y₁=時，=，解得x=1；
當y₂=時，=，解得x=．
經(jīng)檢驗：x=1或都是原方程的解．
故原方程的解為x₁=1，x₂=，x₃=．

（2）設(shè)x²+2x-8=y，則原方程可化為：++=0，
方程的兩邊同乘y（y+9x）（y-15x），整理得y²-4xy-45x²=0，
解得y=9x或y=-5x．
當y=9x時，x²+2x-8=9x，x²-7x-8=0，解得x₁=8，x₂=-1；
當y=-5x時，x²+2x-8=-5x，x²+7x-8=0，解得x₃=-8，x₄=1．
經(jīng)檢驗：x₁=8，x₂=-1，x₃=-8，x₄=1都是原方程的解．
故原方程的解為x₁=8，x₂=-1，x₃=-8，x₄=1．

（3）[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=120，
（x²+5x+4）（x²+5x+6）=120，
設(shè)x²+5x+4=y，則y（y+2）=120，
∴y²+2y-120=0，
解得y=10或y=-12．
當y=10時，x²+5x+4=10，x²+5x-6=0，解得x₁=-6，x₂=1；
當y=-12時，x²+5x+4=-12，x²+5x+16=0，△=25-64=-39＜0，故此方程無實根．
故原方程的解為x₁=-6，x₂=1．

（4）將原方程變形，得2（x+）²-4-3（x+）=1，
整理，得2（x+）²-3（x+）-5=0．
設(shè)x+=y，則原方程可化為：2y²-3y-5=0，
解得：y₁=，y₂=-1．
當y₁=時，x+=，解得：x₁=，x₂=2；
當y₂=-1時，x+=-1，即x²+x+1=0，△=1-4=-3＜0，故此方程無實根．
經(jīng)檢驗：x₁=，x₂=2都是原方程的解．
故原方程的解為x₁=，x₂=2．
分析：（1）由于==1+，此時發(fā)現(xiàn)兩個分式具備倒數(shù)關(guān)系，
設(shè)y=，則原方程另一個分式為1+，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程．先求y，再求x．結(jié)果需檢驗．
（2）觀察發(fā)現(xiàn)方程左邊三個分式的分母都是關(guān)于未知數(shù)x的二次三項式，且二次項都是x²，常數(shù)項都是-8，設(shè)y=x²+2x-8，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程．先求y，再求x．結(jié)果需檢驗．
（3）先運用乘法交換律與結(jié)合律將（x+1）與（x+4）相乘，（x+2）與（x+3）相乘，再設(shè)x²+5x+4=y，
則原方程化為y²+2y-120=0．用換元法解一元二次方程先求y，再求x．
（4）方程的兩個分式具備平方關(guān)系，設(shè)x+=y，則原方程化為2y²-3y-5=0．用換元法解一元二次方程先求y，再求x．注意檢驗．
點評：本題考查了用換元法解方程．換元法是解方程的常用方法之一，它能夠把方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的方程的特點，尋找解題技巧．特別注意解分式方程一定要代入最簡公分母驗根．