Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點E在BC的延長線上，DE=DB．
求證：AD=CE．

Answer 1

證法一：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，
∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的內(nèi)角相等），
∠A+∠ABC=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DB=BE，
∴∠DBC=∠E，
∵∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠E，
在△ABD和△CDE中，，
∴△ABD≌△CDE（AAS），
∴AD=CE；

證法二：連接AC，
在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，
∴AC=BD（等腰梯形的對角線相等），
∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的內(nèi)角相等），
在△ABC和△DCB中，，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，
∵DB=BE，
∴∠DBC=∠E，
∴∠ACB=∠E，
∴AC∥DE，
又∵DE=BD，
∴DE=AC，
∴四邊形ACED是平行四邊形（一組對邊平行的四邊形是平行四邊形），
∴AD=CE．（平行四邊形的對邊相等）．
分析：證法一：根據(jù)等腰梯形同一底上的內(nèi)角相等可得∠ABC=∠DCB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠A+∠ABC=180°，然后根據(jù)等角的補角相等求出∠A=∠DCE，再根據(jù)等邊對等角求出∠DBC=∠E，然后利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠ADB=∠DBC，從而推出∠ADB=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
證法二：根據(jù)等腰梯形同一底上的內(nèi)角相等可得∠ABC=∠DCB，然后利用“邊角邊”證明△ABC和△DCB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACB=∠DBC，再根據(jù)等邊對等角求出∠DBC=∠E，然后求出∠ACB=∠E，根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出AC∥DE，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等證明即可．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．