Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P在AB上（不與A、B重合），過P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，連接EF，M為EF的中點．

（1）請判斷四邊形PECF的形狀，并說明理由；

（2）隨著P點在AB上位置的改變，CM的長度是否也會改變？若不變，求CM的長度；若有變化，求CM的變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）矩形；（2）

【解析】

（1）首先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形ABC是直角三角形，然后根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形即可得解；

（2）CM的長度會改變．連接PC，證得四邊形PECF是矩形，得到EF=PC，求出PC的范圍，即可得到得到EF的范圍，即可得到CM 的范圍．

（1）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5．

∵AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠ACB=90°．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°，∴四邊形PECF是矩形；

（2）CM的長度會改變，理由是：

連接PC，由（1）證得四邊形PECF是矩形，∴EF=PC．

過點C作CD⊥AB，此時CD=PC且PC最小，∴PC2.4．

∵點P是斜邊AB上 （不與A、B重合），∴PC＜BC=4，∴PC的范圍是2.4≤PC＜4，即EF的范圍是2.4≤EF＜4．

∵M為EF的中點，∴CMEF，∴CM的范圍是．