Question

在△ABC中，AD⊥BC，∠CAD=∠B．
（1）利用尺規(guī)作圖，作△ADB的外接圓⊙O；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求證：AC是⊙O的切線；
（3）若AC=10，AD=8，求⊙O的直徑．

Answer 1

解：（1）如圖，利用尺規(guī)正確作圖可得；

（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠DAB=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠CAB=90°，
∵AB是圓O的直徑，
∴AC是⊙O的切線；

（3）∵∠ADC=90°，AC=10，AD=8，
∴CD=6，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∠CAD=∠B，
∴△ADC∽△BDA，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）△ADB是直角三角形，以AB為直徑就能作出外接圓⊙O
（2）AC經(jīng)過⊙O半徑外端點A，要證AC是⊙O的切線；只要證明∠CAB=90°即可，∠B+∠DAB=90°，而∠CAD=∠B，容易證明∠CAB=90°
（3）知道AC、AD，根據(jù)勾股定理能求CD，再根據(jù)三角形相似可求直徑AB．
點評：此題考查三角形相似的判定及切線的判定的綜合運用．