
解:(Ⅰ)∵拋物線經(jīng)過點(0,

),
∴c=

.
∴y
1=ax
2+bx+

,
∵點(-1,0)、(3,0)在拋物線y
1=ax
2+bx+

上,
∴

,解得

,
∴y
1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:y
1=-

x
2+

x+

;
(II)∵y
1=-

x
2+

x+

,
∴y
1=-

(x-1)
2+3,
∴直線l為x=1,頂點M(1,3).
①由題意得,t≠3,
如圖,記直線l與直線l′交于點C(1,t),當(dāng)點A′與點C不重合時,
∵由已知得,AM與BP互相垂直平分,
∴四邊形ANMP為菱形,
∴PA∥l,
又∵點P(x,y
2),
∴點A(x,t)(x≠1),
∴PM=PA=|y
2-t|,
過點P作PQ⊥l于點Q,則點Q(1,y
2),
∴QM=|y
2-3|,PQ=AC=|x-1|,
在Rt△PQM中,
∵PM
2=QM
2+PQ
2,即(y
2-t)
2=(y
2-3)
2+(x-1)
2,整理得,y
2=

(x-1)
2+

,
即y
2=

x
2-

x+

,
∵當(dāng)點A與點C重合時,點B與點P重合,
∴P(1,

),
∴P點坐標(biāo)也滿足上式,
∴y
2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y
2=

x
2-

x+

(t≠3);
②根據(jù)題意,借助函數(shù)圖象:
當(dāng)拋物線y2開口方向向上時,6-2t>0,即t<3時,拋物線y
1的頂點M(1,3),拋物線y
2的頂點(1,

),
∵3>

,
∴不合題意,
當(dāng)拋物線y
2開口方向向下時,6-2t<0,即t>3時,
y
1-y
2=-

(x-1)
2+3-[

(x-1)
2+

]
=

(x-1)
2+

,
若3t-11≠0,要使y
1<y
2恒成立,
只要拋物線y=

(x-1)2+

開口方向向下,且頂點(1,

)在x軸下方,
∵3-t<0,只要3t-11>0,解得t>

,符合題意;
若3t-11=0,y
1-y
2=-

<0,即t=

也符合題意.
綜上,可以使y
1<y
2恒成立的t的取值范圍是t≥

.
分析:(I)先根據(jù)物線經(jīng)過點(0,

)得出c的值,再把點(-1,0)、(3,0)代入拋物線y
1的解析式即可得出y
1與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(II)先根據(jù)(I)中y
1與x之間的函數(shù)關(guān)系式得出頂點M的坐標(biāo).
①記直線l與直線l′交于點C(1,t),當(dāng)點A′與點C不重合時,由已知得,AM與BP互相垂直平分,故可得出四邊形ANMP為菱形,所以PA∥l,再由點P(x,y
2)可知點A(x,t)(x≠1),所以PM=PA=|y
2-t|,過點P作PQ⊥l于點Q,則點Q(1,y
2),故QM=|y
2-3|,PQ=AC=|x-1|,在Rt△PQM中,根據(jù)勾股定理即可得出y
2與x之間的函數(shù)關(guān)系式,再由當(dāng)點A與點C重合時,點B與點P重合可得出P點坐標(biāo),故可得出y
2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
②據(jù)題意,借助函數(shù)圖象:當(dāng)拋物線y
2開口方向向上時,可知6-2t>0,即t<3時,拋物線y
1的頂點M(1,3),拋物線y
2的頂點(1,

),由于3>

,所以不合題意,當(dāng)拋物線y
2開口方向向下時,6-2t<0,即t>3時,求出y
1-y
2的值;若3t-11≠0,要使y
1<y
2恒成立,只要拋物線方向及且頂點(1,

)在x軸下方,因為3-t<0,只要3t-11>0,解得t>

,符合題意;若3t-11=0,y
1-y
2=-

<0,即t=

也符合題意.
點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到待定系數(shù)法二次函數(shù)解的解析式、勾股定理及二次函數(shù)的性質(zhì),解答此類題目時要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.