Question

已知拋物線L；y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標是，，與y軸的交點是M（0，c）我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線。
（1）請直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式：
伴隨拋物線的關(guān)系式_________________；
伴隨直線的關(guān)系式___________________；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3， 則這條拋物線的關(guān)系是___________；
（3）求拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0） 的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式；
（4）若拋物線L與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點x₂>x₁>0，它的伴隨拋物線與x 軸交于C，D兩點，且AB=CD，請求出a、b、c應(yīng)滿足的條件。

Answer 1

解：（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；
（2）y=x²-2x-3
（3）∵伴隨拋物線的頂點是（0，c），
∴設(shè)它的解析式為y=m（x-0）²+c（m≠0）。
∴設(shè)拋物線過P，
∴=
解得m=-a，
∴伴隨拋物線關(guān)系式為y=-ax²+c。
設(shè)伴隨直線關(guān)系式為y=kx+c（k≠0）
∵P在此直線上，
∴，
∴k=。
∴伴隨直線關(guān)系式為y=x+c
（4）∵拋物線L與x軸有兩交點，
∴△₁=b²-4ac>0，
∴b²<4ac。
∵x₂>x₁>0，
∴x₁+ x₂= ->0，x₁x₂=>0，
∴ab<0，ac>0。
對于伴隨拋物線y=-ax²+c，有△₂=0²-（-4ac）=4ac>0。由-ax²+c=0，得x=。
∴，，
∴CD=2。
又AB=x₂-x₁==。
由AB=CD，得=2，
整理得b²=8ac，綜合b²>4ac，ab<0，ac>0，b²=8ac，
得a，b，c滿足的條件為b²=8ac且ab<0，（或b²=8ac且bc<0）。