Question

（2012•青羊區(qū)一模）如圖，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（C、F兩點在x軸正半軸上）．若⊙P過A、B、E三點（圓心P在x軸上），拋物線y=

1

8

x²+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，正方形CDEF的面積為4．
（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設直線AC與拋物線對稱軸交于點N，點Q是此對稱軸上不與點N重合的一動點．
①求△ACQ周長的最小值；
②設點Q的縱坐標為t，△ACQ的面積為S，直接寫出S與t之間的函數關系式，并指出相應的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如圖甲，連接PE、PB，設PC=n，由正方形CDEF的面積為4，可得CD=CF=2，根據圓和正方形的對稱性知：OP=PC=n，由PB=PE，根據勾股定理即可求得n的值，繼而求得B的坐標；
（2）由（1）知A（0，4），C（4，0），即可求得拋物線的解析式；
（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于A′，連CA′交對稱軸x=6于Q，連AQ，則有AQ=A′Q，△ACQ周長的最小值為AC+A′C的長，利用勾股定理即可求得△ACQ周長的最小值；
②分別當Q點在F點上方時，當Q點在線段FN上時，當Q點在N點下方時去分析即可求得答案．

解答：解：（1）如圖，連接PE、PB，設PC=n，
由正方形CDEF的面積為4，可得CD=CF=2，
根據圓和正方形的對稱性知，OP=PC=n，
由PB=PE，根據勾股定理，得
PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，
PE²=PF²+EF²=（n+2）²+4，即5n²=（n+2）²+4
解得n₁=2或n₂=-1（舍去）．
∴BC=OC=4，
故點B的坐標為（4，4）；
（2）由（1）A（0，4），C（4，0），
∵拋物線y=

1

8

x²+bx+c經過A、C兩點，
∴

4=c 0= 1 8 ×42+4b+c

 解得

c=4 b=- 3 2

，．
∴拋物線的解析式為y=

1

8

x²-

3

2

x+4；
（3）①如圖，延長AB交拋物線于點A′，連接CA′交對稱軸x=6于點Q，連接AQ，則有AQ=A′Q．△ACQ周長的最小值為AC+A′C的長．
利用勾股定理，在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=4

2

，
在Rt△A′BC中，A′C=

A′B2+BC2

=4

5

，
即△ACQ周長的最小值為4

2

+4

5

；
②直線AC的解析式為x+y-4=0，當x=6時，y=-2，由于點Q與N不重合，
∴t≠-2，
當t＞-2時，
Q點在F點上方時，S=S_梯形ACFK-S_△AKQ-S_△CFQ=

1

2

×（6+2）×2-

1

2

×（4-t）×6-

1

2

×t×2=2t-4，
同理，當t＜-2時可得：當Q點在線段FN上時，S=-2t-4．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，圓的性質，相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性很強，題目難度較大，解題的關鍵是方程思想、分類討論與數形結合思想的應用．