Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，過點(diǎn)A作直線MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
①求證：FD=FG；
②若BC=4，AB=6，試求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切線．

（2）①證明：∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直徑，
∴∠CBG+∠CGB=90°；
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG．

②解：連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．
∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DH．
∴△BDE≌△BDH．
∴BE=BH．
∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴AD=DC．
∴Rt△ADE≌Rt△CDH．
∴AE=CH．
∴BE=AB-AE=BC+CH=BH，即6-AE=4+AE，
∴AE=1．
分析：（1）即證∠MAC+∠CAB=90°．因?yàn)锳B為直徑，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC得證．
（2）①證明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因?yàn)镈是弧AC的中點(diǎn)，所以∠ABD=∠CBD．問題得證．
②連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．證明Rt△ADE≌Rt△CDH，得AE=CH．根據(jù)AB=BH求解．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、等腰三角形的判定、三角形全等等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)；特別是最后一個(gè)問題構(gòu)造全等三角形求解，難度較大．