Question

（2012•封開縣一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若AC、DE交于點O，四邊形ADCE的面積為16

3

，CD=4，求∠AOD的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）已知四邊形ABDE是平行四邊形，只需證得它的一個內(nèi)角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底邊的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得∠ADC是直角，由此得證．
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD的長度，進而得出∠DAC=30°即可求出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．
∵D為BC中點，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∵AB=AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形．

（2）解：∵平行四邊形ADCE是矩形，四邊形ADCE的面積為16

3

，CD=4，
∴AD•CD=4AD=16

3

，DO=AO=CO=EO，
解得：AD=4

3

，
∴tan∠DAC=

CD

AD

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠DAC=30°，
∴∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°．

點評：此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．