如圖，拋物線y=ax2+bx-
3
交x軸于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，且CD∥AB，對(duì)稱軸直線l交x軸于點(diǎn)M，連結(jié)CM，將∠CMB繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的兩邊分別交直線BC、直線CD于點(diǎn)E、F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，射線MF與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)是
(-1，-
4
3
3
)
(-1，-
4
3
3
)
；
（3）若ME=
13
CF，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
分析：（1）把A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax2+bx-
3
求出a和b的值即可得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BMC=∠EMF，再根據(jù)題目的已知條件可證明△BMC是等邊三角形，所以∠BMC=∠EMF=60°，由等邊三角形的性質(zhì)可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，可以證明射線MF與拋物線的交點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn)；
（3）由（2）可知△MBC是等邊三角形，所以∠CMB=∠MCB=60°，因?yàn)锳B∥CD，所以∠ACD=30°，所以∠BCD=120°，所以∠BCD+∠EMF=180°，所以∠MEC+∠MFC=180°，進(jìn)而得到∠MEB=∠MFC，又∠EMB=∠CMF，所以△MBE≌△MCF，所以MF=ME，又ME=
13
CF，所以可得到MF=
13
CF，令對(duì)稱軸與CD交于點(diǎn)H，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，利用勾股定理計(jì)算即可．
解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�過A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，
∴
0=9a-3b-
3
0=a+b-
3
，
解得：
a=
3
3
b=
2
3
3
，
∴y=
3
3
x2+
2
3
3
x-
3
；

（2）∵OB=1，BC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠CBO=60°，
∴△MBC是等邊三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠BMC=∠EMF=60°，
當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，
∴∠BME=∠CME=30°，
∴∠FMC=30°，
∴MF是拋物線的對(duì)稱軸，
∴射線MF與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，
∵y=
3
3
x2+
2
3
3
x-
3
，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(-1，-
4
3
3
)，

（3）∵OA=3，OB=1，OC=
3
，
∴
OB
OC
=
OC
OA
=
1
3
，
又∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC=∠BCO，
∴∠ACB=90°，
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴CM=BM，
∵OB=1，BC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠CBO=60°，
∴△MBC是等邊三角形，
∴∠CMB=∠MCB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=30°，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCD+∠EMF=180°，
∴∠MEC+∠MFC=180°，
∴∠MEB=∠MFC，
又∵∠EMB=∠CMF，
∴
BM=CM
∠EMB=∠CMF
∠MEB=∠MFC
，
∴△MBE≌△MCF，
∴MF=ME，
又∵M(jìn)E=
13
CF，
∴MF=
13
CF，
令對(duì)稱軸與CD交于點(diǎn)H，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，
在直角△MHF中MF2=MH2+HF2
即(
13
t)2=(
3
)2+(t+1)2 ，
∴t1=-
1
2
，t2=
2
3
，
當(dāng)t=-
1
2
時(shí)，BE=CF=
1
2
，
過點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，
在直角△BGE中，
∵∠GBE=60°，
∴∠GEB=30°，
∴GB=
1
2
BE=
1
4
，
∴GE=
3
4
，
∴E（
3
4
，-
3
4
），
同理，當(dāng)t=
2
3
時(shí)，點(diǎn)E（
4
3
，
3
3
）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性的考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、用公式法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)．難度很大，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、如圖，直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標(biāo)系中可能是（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點(diǎn)P（-
1
2
，
9
8
），且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求a值；
（2）設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），觀察M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出一條正確的結(jié)論，并通過計(jì)算說明；
（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為xA，xB，若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q（x，0），且xA≤x≤xB，過Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D精英家教網(wǎng)兩點(diǎn)，試問當(dāng)x為何值時(shí)，線段CD有最大值，其最大值為多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸正半軸于點(diǎn)D，精英家教網(wǎng)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)A，直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A，矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對(duì)稱軸；
（2）⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）若線段DO與AB交于點(diǎn)E，以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似，如果有可能，請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式；如果不可能，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），精英家教網(wǎng)與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當(dāng)△MNC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與線段AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．問：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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