Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDF，作點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，記為點(diǎn)G，連接DG．

（1）依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；
（2）連接BD，EG，判斷BD與EG的位置關(guān)系并在圖2中加以證明；
（3）當(dāng)點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出∠EDG的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

依題意補(bǔ)全圖形如圖1：

（2）解：結(jié)論：BD⊥EG．

證明：如圖2，BD，EG交于M，

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠DAE=∠DCB=90°，

由旋轉(zhuǎn)可得△ADE≌△CDF，DE=DF，AE=CF

∴∠DCF=∠DAE=∠DCB=90°，

∴點(diǎn)B，C，F(xiàn)在一條直線上．

∵點(diǎn)G與點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱

∴△DCG≌△DCF，DG=DF，CG=CF

∴DE=DG，AE=CG，

∴BE=BG

∴BD⊥EG于M．

（3）解：如圖3，過G作GM⊥DE于M，

由（2）知，DE=DG，

設(shè)BE=x，

∴AE=CF=CG=BG=x，

∴AD=2x，

在Rt△ADE中，DE= = x，

∴DG= x，

在Rt△BEG中，EG= x，

設(shè)DM=a，

∴EM=DE﹣DM= x﹣a，

在Rt△EMG中，MG2=EG2﹣EM2，

∴MG2=2x2﹣（ x﹣a）2，

在Rt△DMG中，MG2=5x2﹣a2，

∴2x2﹣（ x﹣a）2=5x2﹣a2，

∴a= ，

∴MG= x

在Rt△DMG中，tan∠EDG= = ．

即：∠EDG的正切值為 ．

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)角度畫出圖形即可；（2）先利用旋轉(zhuǎn)判斷出B、C、F在一條直線上，進(jìn)而利用軸對(duì)稱得出△DCG≌△DCF即可；（3）過G作GM⊥DE于M，構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理即可表示出GM、DM即可得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．