Question

如圖，拋物線y=ax2-

3

2

x-2(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知點B坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，說出△ABC外接圓的圓心位置，并求出圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標(biāo)代入解析式中即可求解；
（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點、B點、C點坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點B（4，0）在拋物線y=ax2-

3

2

x-2(a≠0)的圖象上，
∴0=16a-

3

2

×4-2，
∴a=

1

2

．
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2-

3

2

x-2；

（2）△ABC為直角三角形．             
令x=0，得：y=-2，
∴C（0，-2），
令y=0，得

1

2

x2-

3

2

x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，AC=

5

，BC=

20

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∴AB為△ABC外接圓的直徑，
∴該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標(biāo)為：（

3

2

，0）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識點較多，綜合性很強．熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及待定系數(shù)法的運用是理出思路的關(guān)鍵．