Question

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度都是1厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若三角形PBQ為直角三角形時(shí)，則t的值是（　　）

A．2秒

B．4秒

C．2秒或4秒

D．3秒

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：（i）當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時(shí)間是t秒，利用速度×?xí)r間=路程表示出AP與BQ的長(zhǎng)，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）當(dāng)QP⊥AB時(shí)，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時(shí)間是t秒，利用速度×?xí)r間=路程表示出AP與BQ的長(zhǎng)，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意的t的值．

解答：解：分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖所示：

由題意可得：AP=BQ=t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BQ

BP

=

1

2

，即

t

6-t

=

1

2

，
解得：t=2秒；
（ii）當(dāng)QP⊥AB時(shí)，如圖所示：

由題意可得：AP=BQ=t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BP

BQ

=

1

2

，即

6-t

t

=

1

2

，
解得：t=4秒，
綜上，t的值是2秒或4秒．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，利用了分類(lèi)討論及方程的思想，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．