Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：
①abc＞0；②b²-4ac＞0；③方程ax²+bx+c=0的另一個根在2和3之間；④2c＜3b；⑤a十b＞m（am+b），（m≠1的實數(shù)）
其中正確的結(jié)論有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)拋物線開口方向得到a＜0，根據(jù)對稱軸為直線x=-=1，即b=-2a，得到b＞0，根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸上方得到c＞0，則有abc＜0；根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點得到b²-4ac＞0；
利用對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點在點（2，0）和點（3，0）之間，于是得到方程ax²+bx+c=0的另一個根在2和3之間；把x=-1代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c得到a-b+c＜0，然后利于a=-b，可變形得到2c＜3b；利用二次函數(shù)最大值問題得到x=1時，函數(shù)值最大，最大值為a+b+c，則a+b+c＞am²+mb+c（m≠1），整理后得到a十b＞m（am+b）．
解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸為直線x=-=1，即b=-2a，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b²-4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線與x軸的一個交點在點（-1，0）和原點之間，而對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（2，0）和點（3，0）之間，
∴方程ax²+bx+c=0的另一個根在2和3之間，所以③正確；
∵x=-1時，y＜0，
∴a-b+c＜0，而a=-b，
∴2c＜3b，所以④正確；
∵x=1時，函數(shù)值最大，最大值為a+b+c，
∴a+b+c＞am²+mb+c（m≠1），即a十b＞m（am+b），所以⑤正確．
故選D．
點評：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；拋物線的對稱軸為直線x=-，頂點坐標(biāo)為（-，）；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個交點．