Question

如圖，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA₁，再以等腰直角三角形ABA₁的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形A₁BB₁，…，如此作下去，若OA=OB=1，則第2012個(gè)等腰直角三角形的面積S₂₀₁₂=

2²⁰¹⁰

．

Answer 1

分析：根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍表示出下一個(gè)三角形的直角邊，然后分別求出各個(gè)三角形的面積，不難發(fā)現(xiàn)，后一個(gè)三角形的面積是前一個(gè)三角形面積的2倍，然后找出規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)三角形的面積的表達(dá)式，再求解第2012個(gè)三角形的面積即可．

解答：解：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，AB=

2

OA=

2

，A₁B=

2

AB=

2

×

2

=2，A₁B₁=

2

A₁B=2

2

，
所以，第1個(gè)等腰直角△AOB的面積S₁=

1

2

×1×1=

1

2

，
第2個(gè)等腰直角△ABA₁的面積S₂=

1

2

×

2

×

2

=1，
第3個(gè)等腰直角△A₁BB₁的面積S₃=

1

2

×2×2=2，
第4個(gè)等腰直角△A₁B₁B₂的面積S₃=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
…，
依此類(lèi)推，第n個(gè)等腰直角三角形的面積S_n=2^n-2，
第2012個(gè)等腰直角三角形的面積S₂₀₁₂=2²⁰¹⁰．
故答案為：2²⁰¹⁰．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，數(shù)字變化規(guī)律的考查，根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍，表示出后一個(gè)三角形的直角邊與前一個(gè)三角形的直角邊的關(guān)系，然后得到相鄰兩個(gè)三角形的面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．