Question

已知：如圖，∠B=90°，AB∥DF，AB=4cm，BD=10cm，點C是線段BD上一動點，點E是直線DF上一動點，且始終保持AC⊥CE．
（1）試說明：∠ACB=∠CED；
（2）若AC=CE，試求DE的長；
（3）在線段BD的延長線上，是否存在點C，使得AC=CE？若存在，請求出DE的長及△AEC的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)∠DCE+∠CED=90°和∠ACB+∠DCE=90°即可解題；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論易證△ABC≌△CDE，可得DE=BC，AB=CD，即可求得DE的長；
（3）找到C點使得CD=AB，連接AC，作CE⊥AE交FD延長線于點E，連接AE，易證△ACB≌△CED，可得AC=CE，DE=BC，根據(jù)勾股定理可以求得AC的值，即可求得△ACE的面積，即可解題．

解答：解：（1）∵∠DCE+∠CED=90°，∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACB=∠CED；
（2）在△ABC和△CDE中，

∠B=∠D=90° ∠ACB=∠CED AC=CE

，
∴△ABC≌△CDE，（AAS）
∴CD=AB，BC=DE，
∵CD=AB=4，BD=10，
∴DE=BC=BD-CD=BD-AB=6；
（3）找到C點使得CD=AB，連接AC，作CE⊥AE交FD延長線于點E，連接AE，

∵∠ACB+∠A=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠A=∠DCE，
在△ACB和△CED中，

∠A=∠DCE AB=CD ∠B=∠CDE=90°

，
∴△ACB≌△CED（ASA），
∴CE=AC，
∴DE=BC=AB+BD=14，
此時AC=

BC2+AB2

=

212

，
∴S_△ACE=

1

2

AC•CE=

1

2

×212=106．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABC≌△CDE和△ACB≌△CED是解題的關(guān)鍵．