Question

如圖1，⊙O的直徑為AB，過半徑OA的中點G作弦CE⊥AB，在

CB

上取一點D，分別作直線PA、ED，交直線AB于點F、M．
（1）求∠COA和∠FDM的度數(shù)；
（2）求證：△FDM∽△COM；
（3）如圖2，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點，點D改取在

EB

上，仍作直線PA、ED，分別交直線AB于點F、M．試判斷：此時是否仍有△FDM∽△COM？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由于CG⊥OA，根據(jù)垂徑定理可得出，弧CA=弧AE，那么根據(jù)圓周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根據(jù)OG是半徑的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°
（2）在（1）中我們根據(jù)垂徑定理得出OA是CE的垂直平分線，那么△CMG和△EMG全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在（1）中已經(jīng)證得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此兩三角形就相似．
（3）可按（2）的方法得出∠DMF=∠CMO，關(guān)鍵是再找出一組對應(yīng)角相等，還是用垂徑定理來求，根據(jù)垂徑定理我們可得出弧AC=弧AE，那么∠AOC=∠EDC，根據(jù)等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可證出兩三角形相似．

解答：（1）解：∵AB為直徑，CE⊥AB
∴

AC

=

AE

，CG=EG
在Rt△COG中，
∵OC=OA，OG=

1

2

OA，
∵OG=

1

2

OC，
∴∠OCG=30°，
∴∠COA=60°，
又∵∠CDE的度數(shù)=

1

2

CAE

的度數(shù)=

AC

的度數(shù)=∠COA的度數(shù)=60°
∴∠FDM=180°-∠CDE=120°．

（2）證明：∵∠COM=180°-∠COA=120°，
∴∠COM=∠FDM
在Rt△CGM和Rt△EGM中，

GM=GM ∠CGM=∠EGM CG=EG

∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS）
∴∠GMC=∠GME
又∵∠DMF=∠GME，
∴△FDM∽△COM．

（3）解：結(jié)論仍成立．
∵∠EDC的度數(shù)=

1

2

CAE

的度數(shù)=

CA

的度數(shù)=∠COA的度數(shù)，
∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM
∵AB為直徑，
∴CE⊥AB，
在Rt△CGM和Rt△EGM中，

GM=GM ∠CGM=∠EGM CG=EG

∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS）
∴∠GMC=∠GME
∴△FDM∽△COM．

點評：本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)等知識點，根據(jù)垂徑定理得出角相等是解題的關(guān)鍵．