【題目】有這樣一個問題:探究同一坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)與的圖象性質(zhì)小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對這兩個函數(shù)當(dāng)時的圖象性質(zhì)進行了探究設(shè)函數(shù)與圖象的交點為A、下面是小明的探究過程:
(1)如圖所示,若已知A的坐標(biāo)為,則B點的坐標(biāo)為______.
(2)若A的坐標(biāo)為,P點為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點B的任意一點.
①設(shè)直線PA交x軸于點M,直線PB交x軸于點求證:.
證明過程如下:設(shè),直線PA的解析式為.
則
解得
所以,直線PA的解析式為______.
請把上面的解答過程補充完整,并完成剩余的證明.
②當(dāng)P點坐標(biāo)為時,判斷的形狀,并用k表示出的面積.
【答案】(1) ;(2)①,,;②直角三角形,或.
【解析】
(1)根據(jù)正、反比例函數(shù)圖象的對稱性結(jié)合點A的坐標(biāo)即可得出點B的坐標(biāo);
(2)①設(shè)P(m,),根據(jù)點P、A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線PA的解析式,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點M的坐標(biāo),過點P作PH⊥x軸于H,由點P的坐標(biāo)可得出點H的坐標(biāo),進而即可求出MH的長度,同理可得出HN的長度,再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證出PM=PN;
②根據(jù)①結(jié)合PH、MH、NH的長度,可得出△PAB為直角三角形,分k>1和0<k<1兩種情況,利用分割圖形求面積法即可求出△PAB的面積.
解:(1)由正、反比例函數(shù)圖象的對稱性可知,點A、B關(guān)于原點O對稱,
點的坐標(biāo)為,
點的坐標(biāo)為.
故答案為:.
(2)①證明過程如下,
設(shè),直線PA的解析式為.
則,
解得:,
直線PA的解析式為.
當(dāng)時,,
點的坐標(biāo)為.
過點P作軸于H,如圖1所示,
點坐標(biāo)為,
點的坐標(biāo)為,
.
同理可得:,
.
,
.
故答案為:,,;
②由(2)①可知,在中,,
為等腰三角形,且.
當(dāng)P點坐標(biāo)為時,,
,
,,
,即,
為直角三角形.
當(dāng)時,如圖1,
,
,
,
;
當(dāng)時,
,
,
,
.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動中,小明計劃測量城門大樓的高度,在點B處測得樓頂A的仰角為22°,他正對著城樓前進21米到達C處,再登上3米高的樓臺D處,并測得此時樓頂A的仰角為45°.
(1)求城門大樓的高度;
(2)每逢重大節(jié)日,城門大樓管理處都要在A,B之間拉上繩子,并在繩子上掛一些彩旗,請你求出A,B之間所掛彩旗的長度(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點都在格點上,點A,B,C的坐標(biāo)分別為(﹣2,4)、(﹣2,0)、(﹣4,1),將△ABC繞原點O旋轉(zhuǎn)180度得到△A1B1C1.平移△ABC得到△A2B2C2,使點A移動到點A2(0,2),結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題:
(1)請畫出△A1B1C1;
(2)請直接寫出B2的坐標(biāo) C2的坐標(biāo) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D、E分別是邊AB、AC的中點,延長DE至F,使得AF∥CD,連接BF、CF.
(1)求證:四邊形AFCD是菱形;
(2)當(dāng)AC=4,BC=3時,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程.
(1)請你為m選取一個合適的整數(shù),使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)設(shè)、是中你所得到的方程的兩個實數(shù)根,求:的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小王在長江邊某瞭望臺D處測得江面上的漁船A的俯角為40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡長BC=10米,則此時AB的長約為多少米?(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年以來,我國持續(xù)大面積的霧霾天氣讓環(huán)保和健康問題成為焦點.為了調(diào)查學(xué)生對霧霾天氣知識的了解程度,某校在學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果共分為四個等級:A.非常了解;B.比較了解;C.基本了解;D.不了解.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了不完整的三種統(tǒng)計圖表.
對霧霾了解程度的統(tǒng)計表:
對霧霾的了解程度 | 百分比 |
A.非常了解 | 5% |
B.比較了解 | m |
C.基本了解 | 45% |
D.不了解 | n |
請結(jié)合統(tǒng)計圖表,回答下列問題.
(1)本次參與調(diào)查的學(xué)生共有 人,m= ,n= ;
(2)圖2所示的扇形統(tǒng)計圖中D部分扇形所對應(yīng)的圓心角是 度;
(3)請補全條形統(tǒng)計圖;
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾知識競賽,某班要從“非常了解”態(tài)度的小明和小剛中選一人參加,現(xiàn)設(shè)計了如下游戲來確定,具體規(guī)則是:把四個完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,然后放到一個不透明的袋中,一個人先從袋中隨機摸出一個球,另一人再從剩下的三個球中隨機摸出一個球.若摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù),則小明去;否則小剛?cè)ィ堄脴錉顖D或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1;④a﹣2b+c>0,其中正確的命題是( )
A. ①②③B. ①③C. ①④D. ①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題1如圖①點A、B、C在⊙O上,且∠ABC=120°,⊙O的半徑是3.求弧AC的長.
問題2如圖②點A、B、C、D在⊙上,且弧AD=弧BC,E是AB的延長線上的.
(1)設(shè)BD=nBF,則n=________;
(2)如圖③若G是線段BD上的一個點,且.試探究,在⊙上是否存在點P (B除外)使PG=PF?為什么?
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