Question

【題目】已知拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）若點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為.

①當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線上時(shí)，求的值；

②當(dāng)點(diǎn)落在第二象限內(nèi)，取得最小值時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-4);（2）①，;②.

【解析】

（1）把坐標(biāo)代入求出解析式，再化為頂點(diǎn)式即可求解；

（2）①由對稱性可表示出P’的坐標(biāo)，再由P和P’都在拋物線上，可得到m的方程，即可求出m的值；

②由點(diǎn)P’在第二象限，可求出t的取值，利用兩點(diǎn)間的距離公式可用t表示，再由帶你P’在拋物線上，可消去m，整理得到關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值時(shí)t的值，則可求出m的值.

（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴，解得，∴拋物線的解析式為.

∵，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）①由點(diǎn)在拋物線上，有.

∵關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，有.

∴，即，

∴，

解得，.

②由題意知在第二象限，∴，，即，.

則在第四象限.

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.

過點(diǎn)作軸，為垂足，則.

∵，，

∴，.

當(dāng)點(diǎn)和不重合時(shí)，在中，.

當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，，，符合上式.

∴，即.

記，則，

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.

把代入，得，

解得，，

由，可知不符合題意，∴.