Question

（2009•永州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），經(jīng)過(guò)A、O兩點(diǎn)作半徑為的⊙C，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)B．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)B點(diǎn)作⊙C的切線交x軸于點(diǎn)D，求直線BD的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠AOB=90°，故AB是直徑，且AB=5在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）；
（2）由于BD是⊙C的切線，CB是⊙C的半徑，故BD⊥AB，即∠ABD=90°，有∠DAB+∠ADB=90°，又因?yàn)椤螧DO+∠OBD=90°，所以∠DAB=∠DBO，由于∠AOB=∠BOD=90°，故△ABO∽△BDO，=，OD===，D的坐標(biāo)為（，0），把B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式便可求出k，b的值，從而求出其解析式．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，且AB=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）；

（2）∵BD是⊙C的切線，CB是⊙C的半徑，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠ADB=90°
又∵∠BDO+∠OBD=90°，
∴∠DAB=∠DBO，
∵∠AOB=∠BOD=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴=，
∴OD===，
∴D的坐標(biāo)為（，0）
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），
則有，∴，
∴直線BD的解析式為y=x-4．
點(diǎn)評(píng)：此題較復(fù)雜，把一次函數(shù)與圓的相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)解答，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容．