Question

如圖1，正方形ABCD中，點H在BC上，連接DH交正方形對角線AC于點E，過點E作DH的垂線交線段AB、CD于點F、G．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）判斷DH、FG的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）在圖1中，延長FG與BC交于點P，連接DF、DP（如圖2），試探究DF與DP的關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠DCB=∠BAD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD
∴∠1=∠3，∠2+∠4=90°
∵DH⊥FG，
∴∠DEG=90°
∴∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2．

（2）DH、FG的數(shù)量關系是：DH=FG
理由：過點F作FP垂直于DC，垂足為P，
∴∠FPD=90°，
∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°，
∴四邊形AFPD是矩形，
∴AD=FP，
∴∠2=∠3，∠FPG=∠BCD，F(xiàn)P=CD，
∴△FPG≌△DCH，
∴FG=DH．
（3）如圖2，過點E分別作AD、BC的垂線，交AD、BC于點M、N，交AB、CD于點R、T．
∵點E在AC上，可得四邊形AREM、ENCT是正方形．
∴△FRE≌△DME≌△ENP，
∴FE=DE=EP，
又∵DE⊥FP，
∴DF與DP的關系為相等且垂直．
分析：（1）由正方形的性質和已知條件可以求出∠BCD=∠DEG=90°，可以得出∠2=∠3，由AB∥CD可以得出∠1=∠3，從而可以得出結論．
（2）過點F作FP垂直于DC，垂足為P，在正方形中易證PF=DC，再證△FPG≌△DCH可證 DH=FG．
（3）因為正方形的四個邊相等，四個角都是直角，所以很容易證明△FRE≌△DME≌△ENP所以FE=DE=EP，DE⊥FP，從而DF與DP的關系為相等且垂直．
點評：本題考查了正方形的性質，四邊相等，四個角是直角，以及全等三角形的判定和性質等．