Question

已知：如圖9-1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)，四邊形OABC是直角梯形，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．

（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（3分）

（2）若D為OA的中點(diǎn)，動點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動，速度為每秒1個單位，移動時間記為t秒．幾秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成

1﹕3兩部分？并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3分）

（3）如圖9-2，作△OBC的外接圓O′，點(diǎn)Q是拋物線上點(diǎn)A、B之間的動點(diǎn)，連接OQ交⊙O′于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．當(dāng)∠BOQ=45°時，求線段MN的長．（3分）

 

Answer 1

（1）解：∵拋物線經(jīng)過O（0，0）、A（12，0）、B（4，8）

∴設(shè)拋物線的解析式為：

∴將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得：，解得：，

∴所求拋物線的關(guān)系式為：

（2）解：過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，∵BF=8，AF=12-4=8∴∠BAF = 45º

∴S_梯形OABC= ∴面積分成1﹕3兩部分，即面積分成16﹕48

由題意得，動點(diǎn)P整個運(yùn)動過程分三種情況，但點(diǎn)P在BC上時，

由于∵S_△ABD= ∴點(diǎn)P在BC上不能滿足要求�！�

即點(diǎn)P只能在AB或OC上才能滿足要求，

① 點(diǎn)P在AB上，設(shè)P(x,y)

可得S_△APD=

又S_△APD=

∴ y=

過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,由∠BAF = 45º

∴AE=PE=

∴x=

又過D作DH⊥AB于H,

∵AD=6

∴DH=

∵S_△APD=

∴t=

∴當(dāng)t=時，P滿足要求。

② 點(diǎn)P在OC上，設(shè)P(0,y)

∵S_△APD=

∴ y= ∴P

∴此時t=AB+BC+CP=, P滿足要求。

（3）解：連接BM， ∵OB是圓直徑，

∴BM⊥OＭ，

∵BC=4，OC=8

∴OB=

∵ 在Rt△BMO中∠BOQ=45°

∴OM=

由（2）可知：∠OAB=45°,AB=

∵∠BOQ=45°

∴∠BOA=∠BOQ+∠AON =45°+∠AON

又∵∠BNO=45°+∠AON

∴∠BNO =∠BOA

又∵∠BON=∠BAO=45°

∴△BON∽△BAO

∴ 即

∴ON=

∴MN=ON-OM=