Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，過點(diǎn)A作AE∥DB交CB的延長線于點(diǎn)E．

(1)求證：∠ABD＝∠CBD；

(2)若∠C＝2∠E，求證：AB＝DC；

(3)在(2)的條件下，sinC＝，AD＝，求四邊形AEBD的面積．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由兩直線AD∥BC，推知內(nèi)錯(cuò)角∠ADB＝∠CBD；在△BAD中，根據(jù)等邊AB＝AD，推知等角∠ADB＝∠ABD；所以由等量代換證得∠ABD＝∠CBD； 　　(2)由兩直線AE∥DB，推知同位角∠E＝∠CBD；利用(1)的結(jié)果、等量代換求得∠ABC＝2∠CBD＝2∠E；根據(jù)已知條件知∠ABC＝∠C，最后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知AB＝DC； 　　(3)過D作DF⊥BC，垂足為F，構(gòu)造四邊形AEBD的高．在直角三角形CDF中，利用角的三角函數(shù)值的意義求得＝；利用(2)的結(jié)論以及勾股定理求得CD＝，DF＝；最后根據(jù)平行四邊形的判定定理知四邊形AEBD的平行四邊形，再由平行四邊形的面積公式：S＝底×高，求得S四邊形AEBD＝AD·DF＝． 　　解答：解：(1)∵AD∥BC 　　∴∠ADB＝∠CBD 　　∵AB＝AD 　　∴∠ADB＝∠ABD 　　∴∠ABD＝∠CBD； 　　(2)∵AE∥DB 　　∴∠E＝∠CBD 　　由(1)得∠ABD＝∠CBD 　　∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠E 　　又∵∠C＝2∠E 　　∴∠ABC＝∠C 　　∴在梯形ABCD中，AB＝DC； 　　(3)過D作DF⊥BC，垂足為F，由sinC＝，得＝ 　　由(2)得CD＝AB，又AB＝AD＝， 　　∴CD＝，DF＝ 　　∵AD∥BC，AE∥DB 　　∴四邊形AEBD的平行四邊形 　　∴S四邊形AEBD＝AD·DF＝×＝． 　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、解直角三角形．解答該題時(shí)，充分利用了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角(同位角)相等．

提示：

梯形；解直角三角形．