Question

已知一次函數y＝x＋1的圖象與x軸交于點A．與y軸交于點B；二次函數y＝x²＋bx＋c圖象與一次函數y＝x＋1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D的坐標為(1，0)

(1)求二次函數的解析式；

(2)在x軸上是否存在點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵由題意知：當x＝0時，y＝1，∴B(0，1)　　1分 　　由點的坐標為當x＝1時，y＝0 　　∴解得　　3分 　　所以　　4分 　　(2)存在；設P(a，0)， 　　①P為直角頂點時，如圖，過C作CF⊥x軸于F，∵Rt△BOP∽Rt△PFC， 　　由題意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE， 　　∴．即　　5分 　　整理得：a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3， 　　此時所求P點坐標為(1，0)或(3，0)　　7分 　�、谌鬊為直角頂點，則有PB2＋BC2＝PC2 　　既有12＋a2＋42＋22＝32＋(4－a)2 　　解得a＝0.5此時所求P點坐標為(0.5，0)　　8分 　　③若C為直角頂點，則有PC2＋BC2＝PB2 　　既有32＋(4－a)2＋42＋22＝12＋a2 　　解得a＝5.5此時所求P點坐標為(5.5，0)　　9分 　　綜上所述，滿足條件的點P有四個，分別是(1，0)(3，0)(0.5，0)(5.5，0)　　10分