Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點，點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式．

（2）求△ABE面積的最大值．

（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出點D坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4．（2）△ABE面積的最大值為8．（3）存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標為（﹣3，1）或（﹣2，2）．

【解析】試題分析：（1）首先求出點A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)點C坐標為（m，0）（m＜0），則點E坐標為（m，-m2-3m+4），從而得出OC=-m、OF=-m2-3m+4、BF=-m2-3m，根據(jù)S△ABE=S梯形AOFE-S△AOB-S△BEF得出S=-2（m+2）2+8，據(jù)此可得答案；

（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形．分兩種情況討論，要點是求出點E的坐標，由于點E在拋物線上，則可以由此列出方程求出未知數(shù)．

試題解析：（1）在直線解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，4）．

∵點A（﹣4，0），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴，

解得：b=﹣3，c=4，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4．

（2）如圖，連接AE、過點E作EF⊥y軸于點F，

設(shè)點C坐標為（m，0）（m＜0），則點E坐標為（m，﹣m2﹣3m+4），

則OC=﹣m，OF=﹣m2﹣3m+4，

∵OA=OB=4，

∴BF=﹣m2﹣3m，

則S△ABE=S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF

=×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣×4×4﹣×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．

=﹣2m2﹣8m

=﹣2（m+2）2+8，

∵﹣4＜m＜0，

∴當m=﹣2時，S取得最大值，最大值為8．

即△ABE面積的最大值為8．

（3）設(shè)點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，

則D（m，4+m）．

∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似

∴△DBE必為等腰直角三角形．

i）若∠BED=90°，則BE=DE，

∵BE=OC=﹣m，

∴DE=BE=﹣m，

∴CE=4+m﹣m=4，

∴E（m，4）．

∵點E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，

∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣3，

∴D（﹣3，1）；

ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=﹣m，

在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，

∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，

∴E（m，4﹣m）．

∵點E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，

∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣2，

∴D（﹣2，2）．

綜上所述，存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標為（﹣3，1）或（﹣2，2）．