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有一張矩形紙片ABCD,已知AB=2,AD=5,把這張紙片折疊,使點A落在邊BC上的點E處,折痕為MN,MN交AB于M,交AD于N.
(1)已知BC上的點E,試畫出折痕MN的位置,并保留作圖痕跡.
(2)若BE=,試求出AM的長.
(3)當點E在BC上運動時,設BE=x,AN=y,試求y關于x的函數解析式,并寫出x的取值范圍.
(4)連接DE,是否存在這樣的點E,使△AME與△DNE相似?若存在,請求出這時BE的長,若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)連接AE,并作AE的中垂線,交AB與M、交AD與N,即可作出折痕MN;
(2)連接ME,設BM=x,則ME=2-x,由勾股定理可得:BM2+BE2=ME2,即可得方程,解方程即可求得AM的值;
(3)延長NM交CB延長線于G點,由BE=x,令BM=a,即可得a2+x2=(2-a)2,則可求得AM的值,又由△GBM∽△ANM,根據相似三角形的對應邊成比例,即可求得y關于x的函數解析式;
(4)若BC上存在點E,要使△AME∽△DNE,則△ABE∽△DEC,由相似三角形的對應邊成比例,即可求得BE的值.
解答:解:(1)連接AE,并作AE的中垂線,交AB與M、交AD與N.如圖:(3分)

(2)連接ME,如圖1,
∵BE=,
設BM=x,則ME=2-x,
由勾股定理可得:BM2+BE2=ME2
∴2+x2=(2-x)2,
∴2+x2=4-4x+x2,
∴x=,
∴AM=;


(3)延長NM交CB延長線于G點,如圖2,
∵BE=x,令BM=a,
則a2+x2=(2-a)2,
a2+x2=4-4a+a2,
∴a=,
∴AM=,
∵AN=y,
∴GB=y-x,
∵△GBM∽△ANM,
,
即:,
∴y=,(8分)
∵0<x≤2,0<y≤5,
∴5-≤x≤2;(9分)

(4)若BC上存在點E,如圖3,使△AME∽△DNE,
∵AM=ME,
∴∠MAE=∠MEA,
又∵EN=ND,
∴∠NDE=∠NED,
∵AD∥BC,
∴∠NED=∠DEC,
要使△AME∽△DNE,
則△ABE∽△DEC,
,

∴x2-5x+4=0,
解得:x1=4(舍去),x2=1,
∴BE=1,存在點E.(12分)
點評:此題考查了折疊的性質,相似三角形的判定與性質,勾股定理等知識.此題綜合性較強,難度較大,解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在一張△ABC紙片中,∠C=90°,∠B=60°,DE是中位線,現把紙片沿中位線DE剪開,計劃拼出以下四個圖形:①鄰邊不等的矩形;②等腰梯形;③有兩個角為銳角的菱形;④正方形.那么以上圖形一定能被拼成的個數為( 。
A、1B、2C、3D、4

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                                                        (  )

                

A.1                 B.2            C.3                D.4

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科目:初中數學 來源:2013屆江蘇省無錫市北塘區(qū)九年級中考二模數學試卷(帶解析) 題型:解答題

如圖1,已知有一張三角形紙片ABC的一邊AB=10,若D為AB邊上的點,過點D作DE//BC交AC于點E,分別過點D、E作DF⊥BC,EG⊥BC,垂足分別為點F、點G,把三角形紙片ABC分別沿DE、DF、EG按圖1方式折疊,點A、B、C分別落在A´、B´、C´處.若A´、B´、C´在矩形DFGE內或者其邊上,且互不重合,此時我們稱△A´B´C´(即圖中陰影部分)為“重疊三角形”.

(1)實驗操作:當AD=4時,①若∠A=90°,AB=AC,請在圖2中畫出“重疊三角形”,= ; 
②若AB=AC,BC=12,如圖3,= ;③若∠B=30°,∠C=45°,如圖4,= ;                     
(2)實驗探究:若△ABC為等邊三角形(如圖5),設AD的長為m,若重疊三角形A´B´C´存在,試用含m的代數式表示重疊三角形A´B´C´的面積,并寫出m的取值范圍.

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(1)實驗操作:當AD=4時,①若∠A=90°,AB=AC,請在圖2中畫出“重疊三角形”,= ; 

②若AB=AC,BC=12,如圖3,= ;③若∠B=30°,∠C=45°,如圖4,= ;                     

(2)實驗探究:若△ABC為等邊三角形(如圖5),設AD的長為m,若重疊三角形A´B´C´存在,試用含m的代數式表示重疊三角形A´B´C´的面積,并寫出m的取值范圍.

 

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       A、1             B、2

       C、3              D、4

 

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