Question

有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，AD=5，把這張紙片折疊，使點A落在邊BC上的點E處，折痕為MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）已知BC上的點E，試畫出折痕MN的位置，并保留作圖痕跡．
（2）若BE=，試求出AM的長．
（3）當點E在BC上運動時，設BE=x，AN=y，試求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．
（4）連接DE，是否存在這樣的點E，使△AME與△DNE相似？若存在，請求出這時BE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AE，并作AE的中垂線，交AB與M、交AD與N，即可作出折痕MN；
（2）連接ME，設BM=x，則ME=2-x，由勾股定理可得：BM²+BE²=ME²，即可得方程，解方程即可求得AM的值；
（3）延長NM交CB延長線于G點，由BE=x，令BM=a，即可得a²+x²=（2-a）²，則可求得AM的值，又由△GBM∽△ANM，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得y關于x的函數解析式；
（4）若BC上存在點E，要使△AME∽△DNE，則△ABE∽△DEC，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得BE的值．
解答：解：（1）連接AE，并作AE的中垂線，交AB與M、交AD與N．如圖：（3分）

（2）連接ME，如圖1，
∵BE=，
設BM=x，則ME=2-x，
由勾股定理可得：BM²+BE²=ME²，
∴2+x²=（2-x）²，
∴2+x²=4-4x+x²，
∴x=，
∴AM=；


（3）延長NM交CB延長線于G點，如圖2，
∵BE=x，令BM=a，
則a²+x²=（2-a）²，
a²+x²=4-4a+a²，
∴a=，
∴AM=，
∵AN=y，
∴GB=y-x，
∵△GBM∽△ANM，
∴，
即：，
∴y=，（8分）
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
∴5-≤x≤2；（9分）

（4）若BC上存在點E，如圖3，使△AME∽△DNE，
∵AM=ME，
∴∠MAE=∠MEA，
又∵EN=ND，
∴∠NDE=∠NED，
∵AD∥BC，
∴∠NED=∠DEC，
要使△AME∽△DNE，
則△ABE∽△DEC，
∴，
∴，
∴x²-5x+4=0，
解得：x₁=4（舍去），x₂=1，
∴BE=1，存在點E．（12分）
點評：此題考查了折疊的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．