Question

如圖，正方形OABC的面積為16，點O為坐標(biāo)原點，點B在函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上，點P（m，n）是函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S．（提示：考慮點P在點B的左側(cè)或右側(cè)兩種情況）
（1）求B點坐標(biāo)和k的值；
（2）當(dāng)S=8時，求點P的坐標(biāo)；
（3）寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先求出正方形的邊長，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象在第一象限寫出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出k值；
（2）①當(dāng)點P在點B的左邊時，不重合部分的面積為m（n-4）與4（4-m），再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可求解，②當(dāng)點P在點B的右邊時，不重合部分的面積為4（4-n）與n（m-4），再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可求解；
（3）分點P在點B的左邊與右邊兩種情況，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，消去字母n，整理即可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積為16，
∴OA=OC=4，
∴B（4，4），
又∵點B（4，4）在函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上，
∴

k

4

=4，
解得k=16，
故答案為：點B的坐標(biāo)是（4，4），k=16； （2分）

（2）分兩種情況：
①當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，
∵P（m，n）在函數(shù)y=

k

x

上，
∴mn=16，
∴S=m（n-4）+4（4-m）=mn-4m+16-4m=32-8m=8，
解得m=3，
∴n=

16

3

，
∴點P的坐標(biāo)是P（3，

16

3

）；
②當(dāng)點P在點B的右側(cè)時，
∵P（m，n）在函數(shù)y=

k

x

上，
∴mn=16，
∴S=4（4-n）+n（m-4）=16-4n+mn-4n=32-8n=8，
解得n=3，
∴

16

m

=3，
解得m=

16

3

，
∴點P的坐標(biāo)是P（

16

3

，3）；（6分）

（3）當(dāng)0＜m＜4時，點P在點B的左邊，此時S=32-8m，
當(dāng)m≥4時，點P在點B的右邊，此時S=32-8n=32-8×

16

m

=32-

128

m

．（2分）

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)與矩形的面積的關(guān)系，把線段的長的問題轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)問題是解決本題的關(guān)鍵，需要注意分點P在點B的左邊與右邊兩種情況，并且不重疊部分有兩部分，進(jìn)行討論求解，避免漏解而導(dǎo)致出錯．