Question

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB、BC上，且AE=BF．
（1）試探索線段AF、DE的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；
（2）連接EF、DF，分別取AE、EF、FD、DA的中點(diǎn)H、I、J、K，則四邊形HIJK是什么特殊平行四邊形？請(qǐng)?jiān)趫D②中補(bǔ)全圖形，并說明理由．

Answer 1

解：（1）AF=DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵AE=BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF=DE．

（2）四邊形HIJK是正方形．
如下圖，H、I、J、K分別是AE、EF、FD、DA的中點(diǎn)，
∴HI=KJ=AF，HK=IJ=ED，
∵AF=DE，
∴HI=KJ=HK=IJ，
∴四邊形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AOE=90°
∴∠KHI=90°，
∴四邊形HIJK是正方形．
分析：（1）根據(jù)已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE．
（2）根據(jù)已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位線，由全等三角形的判定可得到四邊形四邊都相等且有一個(gè)角是直角，從而來可得到該四邊形是正方形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的判定的方法與性質(zhì)和菱形的判定，及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．