Question

（1）如圖1，點C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB=120°，求證：△ACP∽△PDB；
（2）如圖2，點C、D在線段AB上，△PCD是等腰三角形，且PC=PD，若∠APC=∠B，AC=2，BD=6，你能求出等腰三角形△PCD的腰長嗎？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，證明∠A=∠BPD，∠APC=∠B，即可解決問題．
（2）如圖2，證明∠A=∠BPD，結(jié)合∠APC=∠B，得到△ACP∽△PBD，列出比例式即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∠A+∠APC=∠PCD=60°；
∵∠APB=120°，
∴∠APC+∠BPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD；
同理可證：∠APC=∠B，
∴△ACP∽△PDB．
（2）如圖2，∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC；
∵∠A+∠APC=∠PCD，∠B+∠BPD=∠PDC，
且∠APC=∠B，
∴∠A=∠BPD；
∴△ACP∽△PBD，
∴PC：BD=AC：PD，而PC=PD，
∴PC²=AC•BD=2×6，
∴PC=2

3

．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應用問題；解題的關鍵是深入觀察探究、大膽猜測推理、科學求解論證．