Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)O和M分別為Rt△ABC的外心和內(nèi)心，線段OM的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,三角形的外接圓與外心

專題：

分析：作△ABC的內(nèi)切圓⊙M，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根據(jù)勾股定理求出AB=10，得到△ABC的外接圓半徑AO=5，再證明四邊形MECD是正方形，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理，求出⊙M的半徑r=2，則ON=1，然后在Rt△OMN中，運(yùn)用勾股定理即可求解．

解答：解：如圖，作△ABC的內(nèi)切圓⊙M，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10．
∵點(diǎn)O為△ABC的外心，
∴AO為外接圓半徑，AO=

1

2

AB=5．
設(shè)⊙M的半徑為r，則MD=ME=r，
又∵∠MDC=∠MEC=∠C=90°，
∴四邊形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，
∵AB=10，
∴8-r+6-r=10，
解得r=2，
∴MN=r=2，AN=6-r=4．
在Rt△OIN中，∵∠MNO=90°，ON=AO-AN=5-4=1，
∴OM=

MN2+ON2

=

5

．
故答案是：

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形的外心與內(nèi)心的概念及性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，綜合性較強(qiáng)，難度適中．求出△ABC的內(nèi)切圓半徑是解題的關(guān)鍵．