(2009•云南)已知在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(3,0)、C(0,4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-5,0),點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn),直線DP與y軸交于點(diǎn)M.問(wèn):
(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí),直線DP平分矩形OABC的面積,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由,并求出此時(shí)直線DP的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí),是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí),以點(diǎn)P為圓心、半徑長(zhǎng)為R(R>0)畫(huà)圓,所得到的圓稱為動(dòng)圓P.若設(shè)動(dòng)圓P的直徑長(zhǎng)為AC,過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F.請(qǐng)?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜠EPF的最小面積S,若存在,請(qǐng)求出S的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.注:第(3)問(wèn)請(qǐng)用備用圖解答.
【答案】分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)(經(jīng)過(guò)矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩個(gè)部分)可知,連接BO與AC交于點(diǎn)H,則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí),直線DP平分矩形OABC的面積.先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,2),結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求直線DP的函數(shù)解析式為:y=x+
(2)根據(jù)題意可知存在點(diǎn)M使得△DOM與△ABC相似,設(shè)直線DP與y軸的正半軸交于點(diǎn)M(0,ym).可利用相似中的相似比分別列出關(guān)于點(diǎn)M的坐標(biāo)有關(guān)的方程,求解即可.注意:共有3種情況,要考慮周全.
(3)過(guò)D作DP⊥AC于點(diǎn)P,以P為圓心,半徑長(zhǎng)為畫(huà)圓,過(guò)點(diǎn)D分別作⊙P的切線DE、DF,點(diǎn)E、F是切點(diǎn).除P點(diǎn)外在直線AC上任取一點(diǎn)P1,半徑長(zhǎng)為畫(huà)圓,過(guò)點(diǎn)D分別作⊙P的切線DE1、DF1,點(diǎn)E1、F1是切點(diǎn).在△DEP和△DFP中,△DPE≌△DPF.所以S四邊形DEPF=2S△DPE=DE.可知當(dāng)DE取最小值時(shí),S四邊形DEPF的值最。援(dāng)DE是D點(diǎn)與切點(diǎn)所連線段長(zhǎng)的最小值.利用相似求得DE的長(zhǎng),再求得S四邊形DEPF=
解答:解:(1)連接BO與AC交于點(diǎn)H,則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí),直線DP平分矩形OABC的面積.理由如下:
∵矩形是中心對(duì)稱圖形,且點(diǎn)H為矩形的對(duì)稱中心.
又據(jù)經(jīng)過(guò)中心對(duì)稱圖形對(duì)稱中心的任一直線平分此中心對(duì)稱圖形的面積,
因?yàn)橹本DP過(guò)矩形OABC的對(duì)稱中心點(diǎn)H,所以直線DP平分矩形OABC的面積.(2分)
由已知可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,2).
設(shè)直線DP的函數(shù)解析式為y=kx+b.
則有,解得k=,b=
所以,直線DP的函數(shù)解析式為:y=x+.(5分)

(2)存在點(diǎn)M使得△DOM與△ABC相似.
如圖,不妨設(shè)直線DP與y軸的正半軸交于點(diǎn)M(0,ym).
因?yàn)椤螪OM=∠ABC,若△DOM與△ABC相似,則有
當(dāng)時(shí),即,解得.所以點(diǎn)M1(0,)滿足條件.
當(dāng)時(shí),即,解得.所以點(diǎn)M2(0,)滿足條件.
由對(duì)稱性知,點(diǎn)M3(0,-)也滿足條件.
綜上所述,滿足使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M有3個(gè),
分別為M1(0,)、M2(0,)、M3(0,-).

(3)如圖,過(guò)D作DP⊥AC于點(diǎn)P,以P為圓心,半徑長(zhǎng)為畫(huà)圓,
過(guò)點(diǎn)D分別作⊙P的切線DE、DF,點(diǎn)E、F是切點(diǎn).除P點(diǎn)外在直線AC上任取一點(diǎn)P1,半徑長(zhǎng)為畫(huà)圓,
過(guò)點(diǎn)D分別作⊙P的切線DE1、DF1,點(diǎn)E1、F1是切點(diǎn).
在△DEP和△DFP中,∠PED=∠PFD,PF=PE,PD=PD,
∴Rt△DPE≌Rt△DPF.
∴S四邊形DEPF=2S△DPE=2××DE•PE=DE•PE=DE.
∴當(dāng)DE取最小值時(shí),S四邊形DEPF的值最小.
∵DE2=DP2-PE2,DE12=DP12-P1E12,
∴DE12-DE2=DP12-DP2
∵DP1>DP,∴DE12-DE2>0.
∴DE1>DE.由P1點(diǎn)的任意性知:DE是D點(diǎn)與切點(diǎn)所連線段長(zhǎng)的最小值.(12分)
在△ADP與△AOC中,∠DPA=∠AOC,
∠DAP=∠CAO,∴△ADP∽△AOC.
,即
∴DP=

∴S四邊形DEPF=,即S=.(14分)
(注:本卷中所有題目,若由其它方法得出正確結(jié)論,請(qǐng)參照標(biāo)準(zhǔn)給分.)
點(diǎn)評(píng):主要考查了一次函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《一次函數(shù)》(05)(解析版) 題型:解答題

(2009•云南)已知在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(3,0)、C(0,4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-5,0),點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn),直線DP與y軸交于點(diǎn)M.問(wèn):
(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí),直線DP平分矩形OABC的面積,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由,并求出此時(shí)直線DP的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí),是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí),以點(diǎn)P為圓心、半徑長(zhǎng)為R(R>0)畫(huà)圓,所得到的圓稱為動(dòng)圓P.若設(shè)動(dòng)圓P的直徑長(zhǎng)為AC,過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F.請(qǐng)?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜠EPF的最小面積S,若存在,請(qǐng)求出S的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.注:第(3)問(wèn)請(qǐng)用備用圖解答.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《圓》(08)(解析版) 題型:填空題

(2009•云南)已知圓上一段弧長(zhǎng)為6π,它所對(duì)的圓心角為120°,則該圓的半徑為   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年云南省中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

(2009•云南)已知圓上一段弧長(zhǎng)為6π,它所對(duì)的圓心角為120°,則該圓的半徑為   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2006年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)試卷(課標(biāo)卷)(解析版) 題型:填空題

(2009•云南)已知圓上一段弧長(zhǎng)為6π,它所對(duì)的圓心角為120°,則該圓的半徑為   

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案