Question

如圖，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．若拋物線y=x²-2x+k上有點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：由于拋物線y=x²-2x+k與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），代入解析式中即可求出k，而△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，所以有兩種情況：
①若QC⊥BC與C，設(shè)經(jīng)過C點(diǎn)和Q點(diǎn)的直線可以表示為y=mx-3，而直線BC的解析式利用待定系數(shù)法可以求出，然后利用QC⊥BC與C可以求出m，聯(lián)立直線CB、CQ的解析式組成方程組即可求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)B為直角定點(diǎn)，那么利用同樣的方法也可以求出Q的坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．
∴y=x²-2x-3，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
假設(shè)存在一點(diǎn)Q，則QC⊥BC與C，
設(shè)經(jīng)過C點(diǎn)和Q點(diǎn)的直線可以表示為：y=mx-3，
而直線BC可以表示為：y=x-3，
∵QC⊥BC，
∴m=-1
∴直線CQ解析式為：y=-x-3，
聯(lián)立方程組：

y=-x-3 y=x2-2x-3

，
解得x=0或者x=1，
舍去x=0（與點(diǎn)C重合，應(yīng)舍去）的解，
從而可得點(diǎn)Q為（1，-4）；
同理如果點(diǎn)B為直角定點(diǎn)，同樣得到兩點(diǎn)（3，0）（同理舍去）和（-2，5），
從而可得：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（1，-4）和（-2，5）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，也利用了待定系數(shù)法求直線的解析式，解題的關(guān)鍵是利用直線解析式組成方程組求出Q的坐標(biāo)．