【題目】(問題背景)
在平行四邊形ABCD中,∠BAD=120°,AD=nAB,現(xiàn)將一塊含60°的直角三角板(如圖)放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),其60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB、AD于點(diǎn)E、F(不包括線段的端點(diǎn)).
(發(fā)現(xiàn))
如圖1,當(dāng)n=1時(shí),易證得AE+AF=AC;
(類比)
如圖2,過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H,
(1)當(dāng)n=2時(shí),求證:AE=2FH;
(2)當(dāng)n=3時(shí),試探究AE+3AF與AC之間的等量關(guān)系式;
(延伸)
將60°角的頂點(diǎn)移動到平行四邊形ABCD對角線AC上的任意點(diǎn)Q,其余條件均不變,試探究:AE、AF、AQ之間的等量關(guān)系式(請直接寫出結(jié)論).
【答案】【發(fā)現(xiàn)】:見解析;【類比】:(1)見解析;(2);【延伸】.
【解析】
發(fā)現(xiàn):先證明是等邊三角形,再證明≌(ASA),可得,根據(jù)線段的和可得結(jié)論;
類比:(1)如圖2,設(shè)由題意得: 根據(jù)勾股定理的逆定理得:則證明∽,列比例式根據(jù),可得
(2)如圖3,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,先證明∽,得根據(jù)面積法 得所以設(shè)則分別求的長,代入計(jì)算 的值即可;
延伸:如圖4,作輔助線,構(gòu)建新的則同理根據(jù)面積法得: 設(shè)則分別求 及AQ和的長,相比可得結(jié)論.
如圖1,
當(dāng)n=1時(shí),AD=AB,
∴ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠BAD=120°,
∴∠D=∠B=60°,
∴△ABC、△ACD都是等邊三角形,
∴∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°,BC=AC,
∵∠ECF=60°,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°,
∴∠BCE=∠ACF,
在△BCE和△ACF中,
∵ ,
∴△BCE≌△ACF(ASA),
∴BE=AF,
∴
【類比】
:(1)如圖2,
當(dāng)n=2時(shí),
設(shè),由題意得:
∴
∴
∵
由勾股定理得:
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
(2)如圖3,當(dāng)n=3時(shí),
過C作CN⊥AD于N,過C作CM⊥AB于M,交AD于H,
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
設(shè) 則
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【延伸】
如圖4,
過Q作QG∥AD,作QH∥AB,則四邊形AGQH是平行四邊形,且AH=nAG,
過C作CN⊥AD于N,過C作CM⊥AB于M,交AD于P,
同理可得:
∴
∵
∴
∴
∵
設(shè) 則
∵
∴
∴
∴
∴
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題探究
①如圖1,在直角中,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),連接,則的最小值為_________.
②如圖2,在等腰直角中, ,若,求邊的長度(用含的代數(shù)式表示);
(2)問題解決
③如圖3,在等腰直角中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),若點(diǎn)是邊上一點(diǎn),試求的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC底邊BC的長為4,面積為12,腰AB的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.若D為BC邊的中點(diǎn),M為線段EF上一個(gè)動點(diǎn),則△BDM的周長的最小值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高產(chǎn)品的附加值,某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備加工能力,公司派出相關(guān)人員分別到這兩個(gè)工廠了解情況,獲得如下信息:
信息一:甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天;
信息二:乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍.
根據(jù)以上信息,求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】夏季空調(diào)銷售供不應(yīng)求,某空調(diào)廠接到一份緊急訂單,要求在10天內(nèi)(含10天)完成任務(wù),為提高生產(chǎn)效率,工廠加班加點(diǎn),接到任務(wù)的第一天就生產(chǎn)了空調(diào)42臺,以后每天生產(chǎn)的空調(diào)都比前一天多2臺,由于機(jī)器損耗等原因,當(dāng)日生產(chǎn)的空調(diào)數(shù)量達(dá)到50臺后,每多生產(chǎn)一臺,當(dāng)天生產(chǎn)的所有空調(diào),平均每臺成本就增加20元.
(1)設(shè)第天生產(chǎn)空調(diào)臺,直接寫出與之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量的取值范圍.
(2)若每臺空調(diào)的成本價(jià)(日生產(chǎn)量不超過50臺時(shí))為2000元,訂購價(jià)格為每臺2920元,設(shè)第天的利潤為元,試求與之間的函數(shù)解析式,并求工廠哪一天獲得的利潤最大,最大利潤是多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點(diǎn)A(m,3)、B(﹣6,n),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式;
(2)結(jié)合圖象,直接寫出滿足kx+b>的x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)P在x軸上,且S△ACP=S△BOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:大家知道是無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來,于是小明用來表示的小數(shù)部分,你同意小明的表示方法嗎?事實(shí)上,小明的表示方法是有道理的,因?yàn)?/span>的整數(shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分,差就是小數(shù)部分。又例如:因?yàn)?/span>,即,所以的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為,請解答下列問題:
(1) 如果的小數(shù)部分為a,的整數(shù)部分為b,求的值;
(2)已知,其中x是整數(shù),且,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC中,AB=2,AD⊥BC,以AD、CD為鄰邊做矩形ADCE,將△ADC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A′DC′使點(diǎn)A′落在CE上,連接AA′,CC′.
(1)求AD的長;
(2)求證:△ADA′∽△CDC′;
(3)求CC′2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的材料:
在平面幾何中,我們學(xué)過兩條直線平行的定義.下面就兩個(gè)一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線,給出它們平行的定義:設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1(k1≠0)的圖象為直線l1,一次函數(shù)y=k2x+b2(k2≠0)的圖象為直線l2,若k1=k2,且b1≠b2,我們就稱直線l1與直線l2互相平行.
解答下面的問題:
(1)求過點(diǎn)P(1,4)且與已知直線y=-2x-1平行的直線的函數(shù)表達(dá)式,并畫出直線l的圖象;
(2)設(shè)直線l分別與y軸、x軸交于點(diǎn)A、B,如果直線:y=kx+t ( t>0)與直線l平行且交x軸于點(diǎn)C,求出△ABC的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.
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