Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，聯(lián)結(jié)BE，∠ABE＝30°，BE＝DE，聯(lián)結(jié)BD．點(diǎn)M為線段DE上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD，與BE相交于點(diǎn)N．

(1)如果，求邊AD的長(zhǎng)；

(2)如圖1，在(1)的條件下，如果點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CN．過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CN，垂足為點(diǎn)F，求線段MF的長(zhǎng)；

(3)試判斷BE、MN、MD這三條線段的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由矩形ABCD，得AB＝CD，∠A＝∠ADC＝90°． 　　在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，， 　　∴，BE＝2AE＝4　　(2分) 　　又∵BE＝DE，∴DE＝4． 　　于是，由AD＝AE＋DE，得AD＝6　　(2分) 　　(2)聯(lián)結(jié)CM． 　　在Rt△ABD中，　　(1分) 　　∴BD＝2AB，即得∠ADB＝30°． 　　∵MN∥BD，∴∠AMN＝∠ADB＝30°　　(1分) 　　又∵MN∥BD，點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)， 　　∴DM＝EM＝2，． 　　∴　　(1分) 　　在Rt△CDM中，． 　　∴∠CMD＝60°，即得CM＝4，∠CMN＝90°　　(1分) 　　由勾股定理，得． 　　于是，由MF⊥CN，∠CMN＝90°， 　　得　　(1分) 　　(3)　　(1分) 　　證明如下：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為點(diǎn)F． 　　∵BE＝DE，EF⊥BD，∴BD＝2DF　　(1分) 　　在Rt△DEF中，由∠EDB＝30°， 　　得，即得　　(1分) 　　∵MN∥BD， 　　∴，，即得，BN＝DM． 　　∴　　(1分) 　　于是，由BE＝BN＋EN，得　　(1分)