Question

如圖所示，已知直線與拋物線交于A、B兩點，點C是拋物線的頂點．
（1）求出點A、B的坐標；　
（2）求出△ABC的面積；
（3）在AB段的拋物線上是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x與拋物線y=-x²+6交于A、B兩點，
∴-x=-x²+6，
解得：x=6或x=-4，
當x=6時，y=-3，
當x=-4時，y=2，
∴點A、B的坐標分別為：（6，-3），（-4，2）；

（2）∵點C是拋物線的頂點．
∴點C的坐標為（0，6），
∴S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC=×6×4+×6×6=30；

（3）存在．
過點P作PD∥OC，交AB于D，
設P（a，-a²+6），
則D（a，-a），
∴PD=-a²+6+a，
∴S_△ABP=S_△BDP+S_△ADP=×（-a²+6+a）×（a+4）+×（-a²+6+a）×（6-a）=-（a-1）²+（-4＜a＜6），
∴當a=1時，△ABP的面積最大，
此時點P的坐標為（1，）．
分析：（1）由直線y=-x與拋物線y=-x²+6交于A、B兩點，可得方程-x=-x²+6，解方程即可求得點A、B的坐標；
（2）首先由點C是拋物線的頂點，即可求得點C的坐標，又由S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC即可求得答案；
（3）首先過點P作PD∥OC，交AB于D，然后設P（a，-a²+6），即可求得點D的坐標，可得PD的長，又由S_△ABP=S_△BDP+S_△ADP，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，即可求得答案．
點評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形面積的求解以及二次函數(shù)的最值問題等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．