Question

如圖，直線y=x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和C，和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）直接寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）求四邊形ABCM的面積S．

Answer 1

解：（1）∵直線y=x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴A（3，0），C（0，-4），
∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和C，
∴，
解得：，
∴該二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=x²-x-4；

（2）∵y=x²-x-4=（x²-2x）-4=（x-1）²-，
∴該拋物線的對稱軸為x=1，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-）．

（3）令y=x²-x-4中，y=0，得x²-x-4=0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（-1，0），
過M作x軸的垂線，垂足為D，
S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_梯形OCDM+S_△ADM=×1×4+×（4+）×1+×（3-1）×=12．
分析：（1）由直線y=x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，分別令x=0與y=0，即可求得點(diǎn)A和C的坐標(biāo)，又由二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和C，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）由（1）中的二次函數(shù)的關(guān)系式，利用配方法即可求得其頂點(diǎn)式，則可求得該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）首先令y=x²-x-4中，y=0，得方程x²-x-4=0，解此方程即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后過M作x軸的垂線，垂足為D，由S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_梯形OCDM+S_△ADM，即可求得四邊形ABCM的面積S的值．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，注意在求四邊形的面積時(shí)輔助線的作法與分割思想的應(yīng)用．