Question

如圖，矩形FGHN內(nèi)接于△ABC，F(xiàn)G在BC上，NH分別在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=8cm，BC=24cm，
（1）△ABC∽△ANH成立嗎？試說(shuō)明理由；
（2）設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)NF=x，求矩形FGHN的面積y與x的關(guān)系式．
（3）你能求出矩形FGHN的面積y的最大值嗎？

Answer 1

分析：（1）相似，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NH∥BC，進(jìn)而判定△ABC∽△ANH；
（2）矩形面積為長(zhǎng)×寬和矩形的一邊長(zhǎng)NF=x，再把另一邊用x表示出來(lái)，求出面積表達(dá)式即可；
（3）把（2）中的二次函數(shù)表達(dá)式配方即可求出矩形FGHN的面積y的最大值．

解答：（1）證明：∵四邊形NFGH是矩形，
∴NH∥FG，
∴△ABC∽△ANH；

（2）解：∵NF=x，AD⊥BC于D，交NH于E，
∴ED=NF=x，
∴AE=AD-ED=8-x，
∵△ABC∽△ANH，
∴

NH

BC

=

AE

AD

，
∴

NH

24

=

8-x

8

∴NH=24-3x，
∴矩形FGHN的面積y=NF•NH=x（24-3x）=-3x²+24x；

（3）解：由（2）可知y=-3x²+24x=-3（x-4）²+48，
∴當(dāng)x=4時(shí)，矩形FGHN的面積y的最大值是48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及用配方法求二次函數(shù)的最值，題目設(shè)計(jì)的層次性較好，綜合性較好．