【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,其頂點為點D,點E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點F,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若點H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;
(3)一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動,連接OM,BM,設(shè)運(yùn)動時間為t秒(t>0),在點M的運(yùn)動過程中,當(dāng)t為何值時,∠OMB=90°?
(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+;(2).(3)﹣;(4)在x軸上方的拋物線上,存在點P,使得∠PBF被BA平分,P(,).
【解析】
試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出GH,點F的坐標(biāo),用三角形的面積公式計算即可;(3)設(shè)出點M,用勾股定理求出點M的坐標(biāo),從而求出MD,最后求出時間t;(4)由∠PBF被BA平分,確定出過點B的直線BN的解析式,求出此直線和拋物線的交點即可.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,
∴
∴,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;
(2)如圖1,
過點A作AH∥y軸交BC于H,BE于G,
由(1)有,C(0,﹣2),
∵B(0,3),
∴直線BC解析式為y=x﹣2,
∵H(1,y)在直線BC上,
∴y=﹣,
∴H(1,﹣),
∵B(3,0),E(0,﹣1),
∴直線BE解析式為y=﹣x﹣1,
∴G(1,﹣),
∴GH=,
∵直線BE:y=﹣x﹣1與拋物線y=﹣x2+x﹣2相較于F,B,
∴F(,﹣),
∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|
=GH×|xB﹣xF|
=××(3﹣)
=.
(3)如圖2,
由(1)有y=﹣x2+x﹣2,
∵D為拋物線的頂點,
∴D(2,),
∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動,
∴設(shè)M(2,m),(m>),
∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,
∵∠OMB=90°,
∴OM2+BM2=AB2,
∴m2+4+m2+1=9,
∴m=或m=﹣(舍),
∴M(0,),
∴MD=﹣,
∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動,
∴t=﹣;
(4)存在點P,使∠PBF被BA平分,
如圖3,
∴∠PBO=∠EBO,
∵E(0,﹣1),
∴在y軸上取一點N(0,1),
∵B(3,0),
∴直線BN的解析式為y=﹣x+1①,
∵點P在拋物線y=﹣x2+x﹣2②上,
聯(lián)立①②得,或(舍),
∴P(,),
即:在x軸上方的拋物線上,存在點P,使得∠PBF被BA平分,P(,).
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位線,點M是邊BC上一點,BM=3,點N是線段MC上的一個動點,連接DN,ME,DN與ME相交于點O.若△OMN是直角三角形,則DO的長是 .
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【題目】下列因式分解正確的是( 。
A.x3﹣x=x(x2﹣1)B.x2+y2=(x+y)(x﹣y)
C.(a+4)(a﹣4)=a2﹣16D.m2+4m+4=(m+2)2
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【題目】下列一元二次方程中,沒有實數(shù)根的是( )
A.x2﹣2x=0B.x2﹣2x+1=0C.2x2﹣x﹣1=0D.2x2﹣x+1=0
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【題目】已知:如圖,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50°,
求證:①AC=BD;②∠APB=50°.
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【題目】△ABC中,①若AB=BC=CA,則△ABC是等邊三角形;②屬于軸對稱圖形,且有一個角為60°的三角形是等邊三角形;③有三條對稱軸的三角形是等邊三角形;④有兩個角是60°的三角形是等邊三角形,上述結(jié)論中正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OCDE的頂點C和E分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上,OC=8,OE=17,拋物線y=x2﹣3x+m與y軸相交于點A,拋物線的對稱軸與x軸相交于點B,與CD交于點K.
(1)將矩形OCDE沿AB折疊,點O恰好落在邊CD上的點F處.
①點B的坐標(biāo)為( 、 ),BK的長是 ,CK的長是 ;
②求點F的坐標(biāo);
③請直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)將矩形OCDE沿著經(jīng)過點E的直線折疊,點O恰好落在邊CD上的點G處,連接OG,折痕與OG相交于點H,點M是線段EH上的一個動點(不與點H重合),連接MG,MO,過點G作GP⊥OM于點P,交EH于點N,連接ON,點M從點E開始沿線段EH向點H運(yùn)動,至與點N重合時停止,△MOG和△NOG的面積分別表示為S1和S2,在點M的運(yùn)動過程中,S1S2(即S1與S2的積)的值是否發(fā)生變化?若變化,請直接寫出變化范圍;若不變,請直接寫出這個值.
溫馨提示:考生可以根據(jù)題意,在備用圖中補(bǔ)充圖形,以便作答.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0),與y軸交于C(0,﹣2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)H是C關(guān)于x軸的對稱點,P是拋物線上的一點,當(dāng)△PBH與△AOC相似時,求符合條件的P點的坐標(biāo)(求出兩點即可);
(3)過點C作CD∥AB,CD交拋物線于點D,點M是線段CD上的一動點,作直線MN與線段AC交于點N,與x軸交于點E,且∠BME=∠BDC,當(dāng)CN的值最大時,求點E的坐標(biāo).
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