Question

如圖，已知：斜面ABC，∠C=90°，∠B=60°，BC=6，有一半徑為3的小球與AB切于點A，現(xiàn)從斜面頂端A沿直線AB向下作無滑動的滾動，當小球剛接觸到地面時，小球圓心經(jīng)過的路徑長為

 

．

Answer 1

分析：先作輔助線，連接兩個圓心，連接兩個圓心和切點、連接O'M（M是切點），則得到OO'=AN即小球圓心經(jīng)過的路徑長，則BM=BN，所以△BO'M≌△BO'N，得∠MBO'=∠NBO'，又由∠B=60°，得∠MBN=120°，所以得∠NBO'=60°，分別解兩個直角三角形△ABC和△BO'N求出BN和AB，從而求得小球圓心經(jīng)過的路徑長．

解答：解：連接兩個圓心，連接兩個圓心和切點、連接O'M（M是切點），如圖，
由已知得：OO'=AN，
BM=BN，
又OM=ON，OB=OB，
∴△BO'M≌△BO'N，
∴∠MBO'=∠NBO'，
又∠B=60°，∴∠MBN=120°，
∴∠NBO'=60°，則∠BO'N=30°
在Rt△BO'N和Rt△ABC中，
BN=O'N•tan30°=3•

3

3

=

3

，
AB=

BC

cos60°

=

6

1 2

=12，
∴AN=AB-BN=12-

3

，即OO'=12-

3

，
所以小球圓心經(jīng)過的路徑長為：12-

3

，
故答案為：12-

3

．

點評：此題考查的知識點是切線的性質，也滲透了全等三角形的判定和性質，解答此題的關鍵是由已知先證△BO'M≌△BO'N得出∠NBO'=60°，在利用兩個直角三角形求出AB和BN．