Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB=2．若關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實(shí)數(shù)），在-2＜x＜

7

2

的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用二次函數(shù)y=x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB=2，可求b的值，再利用拋物線的對(duì)稱性可求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求c，那么關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實(shí)數(shù)）可化為x²-2x-t=0，利用公式法求出x，結(jié)合-2＜x＜

7

2

的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，可求出相應(yīng)的x的取值范圍．

解答：解：∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-

b

2

=1，
解得：b=-2，
∵對(duì)稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB=2，
∴直線與x軸交于（2，0），（0，0），
∴當(dāng)x=0時(shí)，0+0+c=0，
∴c=0，
∴關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實(shí)數(shù)）為x²-2x-t=0，
∴△=b²-4ac=4+4t≥0，
解得t≥-1，
又∵x=

2± 4+4t

2×1

，
∴x=1±

1+t

，
∵在-2＜x＜

7

2

的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，
∴1-

1+t

＞-2，

1+t

＜3，
∴t＜8
1+

1+t

＜

7

2

，

1+t

＜

5

2

，
∴t＜

21

4

∴-1≤t＜

21

4

．
故答案為：-1≤t＜

21

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與橫軸的交點(diǎn)問(wèn)題、以及拋物線的對(duì)稱問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是正確的理解并應(yīng)用拋物線與橫軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是方程的解．