Question

【題目】如圖，是線段上一點(diǎn)，，、兩點(diǎn)分別從、出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動（在線段上，在線段上），運(yùn)動的時間為．

（1）當(dāng)時，，請求出的長；

（2）當(dāng)時，，請求出的長；

（3）若、運(yùn)動到任一時刻時，總有，請求出的長；

（4）在（3）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的長．

Answer 1

【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm．

【解析】

（1）（2）根據(jù)C、D的運(yùn)動速度知BD＝2PC，再由已知條件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；

（3）結(jié)合（1）、（2）進(jìn)行解答；

（4）由題設(shè)畫出圖示，根據(jù)AQBQ＝PQ求得AQ＝PQ＋BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系．

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1（cm/s）的速度運(yùn)動，運(yùn)動的時間為t=1（s），

所以（cm）．

因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2（cm/s）的速度運(yùn)動，運(yùn)動的時間為t=1（s），

所以（cm）．

故BD=2PC．

因?yàn)?/span>PD=2AC，BD=2PC，

所以BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP．

故AB=AP+PB=3AP．

因?yàn)?/span>AB=12cm，

所以（cm）．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1（cm/s）的速度運(yùn)動，運(yùn)動的時間為t=2(s)，

所以PC=（cm）

因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2（cm/s）的速度運(yùn)動，運(yùn)動的時間為t=2(s)，

所以BD=（cm）

故BD=2PC

因?yàn)?/span>PD=2AC，BD=2PC，

所以BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP

故AB=AP+PB=3AP

因?yàn)?/span>AB=12cm，所以AP=cm

（3）因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1（cm/s）的速度運(yùn)動，運(yùn)動的時間為t（s），

所以（cm）．

因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2（cm/s）的速度運(yùn)動，運(yùn)動的時間為t（s），

所以（cm）．

故BD=2PC．

因?yàn)?/span>PD=2AC，BD=2PC，

所以BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP．

故AB=AP+PB=3AP．

因?yàn)?/span>AB=12cm，

所以（cm）．

（4）本題需要對以下兩種情況分別進(jìn)行討論．

① ②

（1）點(diǎn)Q在線段AB上（如圖①）．

因?yàn)?/span>AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ．

因?yàn)?/span>AQ=AP+PQ，所以AP=BQ．

因?yàn)?/span>，所以．

故．

因?yàn)?/span>AB=12cm，所以（cm）．

（2）點(diǎn)Q不在線段AB上，則點(diǎn)Q在線段AB的延長線上（如圖②）．

因?yàn)?/span>AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ．

因?yàn)?/span>AQ=AP+PQ，所以AP=BQ．

因?yàn)?/span>，所以．

故．

因?yàn)?/span>AB=12cm，所以（cm）．

綜上所述，PQ的長為4cm或12cm．